Calcule o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 3 \\[6pt] 1 & 0 & 2 & 2 \\[6pt] 0 & -1 & 1 & 1 \\[6pt] 1 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é cálculo de determinante de matriz 4\times4. Vamos usar operações elementares de linha, que facilitam o cálculo sem alterar (ou só alterando de forma controlada) o valor do determinante.]

Passo 2

Troque as linhas R_1 e R_2. Esta troca inverte o sinal do determinante. Chamando a matriz obtida de B, temos
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix},
e
\det(B) = -\,\det(A).]

Passo 3

Use agora a operação R_4 \leftarrow R_4 - R_1. Essa operação não altera o determinante:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1 \\[4pt] 1-1 & 2-0 & 1-2 & 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Observe que as linhas 2 e 4 de B ficaram idênticas.]

Passo 4

Se uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante vale zero. Logo
\det(B)=0.
Como \det(B)=-\det(A), segue
\det(A)=-\,\det(B)=-0=0.

Resposta

O determinante de A é 0.

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