Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
lx1+x2+x3+x4=1 x1+x2+3 x3+3 x4=3 x1+x2+2 x3+3 x4=3 x1+3 x2+3 x3+3 x4=4

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas \r
x1,x2,x3,x4 e pede para resolvê-lo pelo método da eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada, escolher pivôs em sequência e anotar as operações elementares entre equações para zerar os coeficientes abaixo de cada pivô.

Passo 2

Escrevemos o sistema e eliminamos x1 em Eq2,Eq3,Eq4 usando \r
Eq2 Eq2-Eq1, Eq3 Eq3-Eq1, Eq4 Eq4-Eq1 \r
Isso gera o sistema\r
l x1 + x2 + x3 + x4 =1, 2x3 + 2x4 =2, x3 + 2x4 =2, 2x2 + 2x3 + 2x4 =3

Passo 3

Para ter pivô em x2 na segunda equação, trocamos Eq2 e Eq4: \r
Eq2 rightarrow Eq4 \r
Fica\r
l x1 + x2 + x3 + x4 =1, 2x2 + 2x3 + 2x4 =3, 2x3 + 2x4 =2, x3 + 2x4 =2 \r
As equações Eq3 e Eq4 já têm coeficiente zero em x2, então não há mais eliminações nesta coluna.

Passo 4

O pivô em x3 é o coeficiente 2 de Eq3. Eliminamos x3 em Eq4 por \r
Eq4 Eq4 - tfrac12,Eq3, \r
o que dá \r
Eq4:;x4 =1 \r
Agora o sistema está triangular:\r
l x1 + x2 + x3 + x4 =1, 2x2 + 2x3 + 2x4 =3, 2x3 + 2x4 =2, x4 =1

Passo 5

Aplicamos retro-substituição:\r
Da Eq4 vem \r
x4 = 1 \r
Substituindo em Eq3:\r
2x3 + 2cdot1 = 2 implies x3 = 0 \r
Em Eq2:\r
2x2 + 2cdot0 + 2cdot1 = 3 implies x2 = tfrac12 \r
Em Eq1:\r
x1 + tfrac12 + 0 + 1 = 1 implies x1 = -tfrac12

Resposta

x1 = -tfrac12, x2 = tfrac12, x3 = 0, x4 = 1

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