Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
l5 x1+x2+2 x3-3 x4=0 6 x1+x2-3 x3+2 x4=0 3 x1+x2+12 x3-13 x4=0

Passo 1

Temos o sistema homogêneo
5x1+x2+2x3-3x4=0, 6x1+x2-3x3+2x4=0, 3x1+x2+12x3-13x4=0
O objetivo é usar eliminação de Gauss para triangular a matriz aumentada e depois fazer substituição para encontrar a solução geral em função de variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos entradas abaixo de a11=5 por
R2 R2-65R1, R3 R3-35R1
5 & 1 & 2 & -3 & 0 6 & 1 & -3 & 2 & 0 3 & 1 & 12 & -13 & 0 longrightarrow 5 & 1 & 2 & -3 & 0 0 & -tfrac15 & -tfrac275 & tfrac285 & 0 0 & tfrac25 & tfrac545 & -tfrac565 & 0

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos
R2 5R2, R3 5R3,
obtendo
5 & 1 & 2 & -3 & 0 0 & -1 & -27 & 28 & 0 0 & 2 & 54 & -56 & 0

Passo 4

Usamos agora a22=-1 como pivô e zera- mos a entrada abaixo dele em R3 por
R3 R3+2R2,
o que gera uma linha nula
R3=(0;0;0;0;0)

Passo 5

Com a matriz triangular, voltamo-nos às equações:
da linha 2:
-,x2-27x3+28x4=0 Longrightarrow x2=-27x3+28x4
da linha 1:
5x1+x2+2x3-3x4=0 Longrightarrow 5x1=-(x2+2x3-3x4)
Substituindo x2:
x2+2x3-3x4 =(-27x3+28x4)+2x3-3x4 =-25x3+25x4,
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5x1=-(-25x3+25x4)=25x3-25x4 Longrightarrow x1=5x3-5x4

Resposta

boxed (x1,x2,x3,x4) = x3,(5,-27,1,0);+;x4,(-5,28,0,1),
com x3,x4 livres.

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