Considere os números complexos \mathrm{z}=\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2} e \mathrm{w}=1+\mathrm{i} \sqrt{3}.
Se m=\left|\frac{w^{6}+3 z^{4}+4 i}{z^{2}+w^{3}+6-2 i}\right|^{2} então m vale: R: 34.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \mathrm{z}=\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2} e \mathrm{w}=1+\mathrm{i}\sqrt{3} e pede para calcular
m=\left|\frac{w^{6}+3 z^{4}+4 i}{z^{2}+w^{3}+6-2 i}\right|^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
\mathrm{z}=\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}.
\mathrm{w}=1+\mathrm{i}\sqrt{3}.
A expressão de m envolve potências de z e w, soma com números complexos e o módulo ao quadrado da fração.

Passo 2

Estratégia (explicação didática e porque escolhi): para calcular potências de complexos é muito prático passar para a forma polar (módulo e argumento) e usar a fórmula de De Moivre. A fórmula que vamos usar é:
\text{se } z = r e^{\mathrm{i}\theta},\text{ então } z^{n}=r^{n} e^{\mathrm{i} n\theta}.ã
Aqui isso simplifica muito porque \mathrm{z} e \mathrm{w} têm partes reais e imaginárias que dão argumentos “bonitos” (ângulos notáveis). Vou calcular módulo e argumento de cada um, elevar às potências pedidas, e depois montar numerador e denominador. Isso evita multiplicações longas no plano cartesiano.

Passo 3

Calcular \mathrm{z} em forma polar. Primeiro o módulo:
|\mathrm{z}|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.
O argumento de \mathrm{z} é o ângulo cuja tangente é \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1, e como ambos os componentes são positivos, o ângulo é \pi/4. Logo
\mathrm{z}=2 e^{\mathrm{i}\pi/4}.

Passo 4

Usar De Moivre para calcular \mathrm{z}^{2} e \mathrm{z}^{4}. Pela fórmula,
\mathrm{z}^{2}=2^{2} e^{\mathrm{i}2\cdot(\pi/4)}=4 e^{\mathrm{i}\pi/2}.
Como e^{\mathrm{i}\pi/2}=\mathrm{i}, obtemos
\mathrm{z}^{2}=4\mathrm{i}.
Agora \mathrm{z}^{4}=(\mathrm{z}^{2})^{2}=(4\mathrm{i})^{2}=16\mathrm{i}^{2}=16(-1)=-16. \] (Alternativamente, \(\mathrm{z}^{4}=2^{4}e^{\mathrm{i}\pi}=16e^{\mathrm{i}\pi}=-16.))

Passo 5

Calcular \mathrm{w} em forma polar. Módulo:
|\mathrm{w}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Argumento: \tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} e ambos positivos, logo \theta=\pi/3. Assim
\mathrm{w}=2 e^{\mathrm{i}\pi/3}.

Passo 6

Elevar \mathrm{w} às potências pedidas usando De Moivre. Primeiro
\mathrm{w}^{3}=2^{3} e^{\mathrm{i}3\cdot(\pi/3)}=8 e^{\mathrm{i}\pi}=8(-1)=-8.
E
\mathrm{w}^{6}=(\mathrm{w}^{3})^{2}=(-8)^{2}=64.
(ou via De Moivre: 2^{6}e^{\mathrm{i}6\cdot\pi/3}=64 e^{\mathrm{i}2\pi}=64.)

Passo 7

Substituir os resultados no numerador e denominador da fração. Numerador:
\mathrm{w}^{6}+3\mathrm{z}^{4}+4\mathrm{i}=64+3(-16)+4\mathrm{i}=64-48+4\mathrm{i}=16+4\mathrm{i}.
Denominador:
\mathrm{z}^{2}+\mathrm{w}^{3}+6-2\mathrm{i}=4\mathrm{i}+(-8)+6-2\mathrm{i}=(-8+6)+(4\mathrm{i}-2\mathrm{i})=-2+2\mathrm{i}.
Logo a fração é
\frac{16+4\mathrm{i}}{-2+2\mathrm{i}}.

Passo 8

Simplificar a fração passo a passo. Primeiro fatorar constantes:
\frac{16+4\mathrm{i}}{-2+2\mathrm{i}}=\frac{4(4+\mathrm{i})}{2(-1+\mathrm{i})}=2\cdot\frac{4+\mathrm{i}}{-1+\mathrm{i}}.
Agora calculamos \frac{4+\mathrm{i}}{-1+\mathrm{i}} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador -1-\mathrm{i}:
\frac{4+\mathrm{i}}{-1+\mathrm{i}}=\frac{(4+\mathrm{i})(-1-\mathrm{i})}{(-1+\mathrm{i})(-1-\mathrm{i})}.
Denominador (produto com conjugado):
(-1+\mathrm{i})(-1-\mathrm{i})=(-1)^{2}-(\mathrm{i})^{2}=1-(-1)=2.
Numerador:
(4+\mathrm{i})(-1-\mathrm{i})=4(-1-\mathrm{i})+\mathrm{i}(-1-\mathrm{i})=-4-4\mathrm{i}-\mathrm{i}-\mathrm{i}^{2}=-4-5\mathrm{i}+1=-3-5\mathrm{i}.
Portanto
\frac{4+\mathrm{i}}{-1+\mathrm{i}}=\frac{-3-5\mathrm{i}}{2}.
Multiplicando pelo 2 do fator anterior:
2\cdot\frac{-3-5\mathrm{i}}{2}=-3-5\mathrm{i}.
Assim a fração original vale -3-5\mathrm{i}.

Passo 9

Calcular m, que é o quadrado do módulo dessa fração. Para um complexo a+bi,
|a+bi|^{2}=a^{2}+b^{2}.
Aqui a=-3 e b=-5, então
m=|-3-5\mathrm{i}|^{2}=(-3)^{2}+(-5)^{2}=9+25=34.

Passo 10

Conclusão final e ânimo: obtivemos m=34. Você viu como usar forma polar e conjugado simplifica totalmente a conta — é um truque muito útil para prova. Vai dar certo, continue praticando que tá indo bem!

Resposta

\,34

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