Resolva os sistemas por escalonamento.
\left\{\begin{array}{l}x+5 y=13 \\\\ 4 x+3 y=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas incógnitas e pede para resolvê-lo por escalonamento. Vou listar claramente o que temos:
  • Equações do sistema:
\begin{cases} x + 5y = 13,\\[4pt] 4x + 3y = 1. \end{cases}
  • O que se pede: encontrar os valores numéricos de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve explicação do método pedido (escalonamento) — sem jargões:
  • Escrevemos o sistema de forma organizada (como uma matriz aumentada ou linhas representando equações).
  • Aplicamos operações entre equações que não mudam o conjunto de soluções: (i) trocar duas equações; (ii) multiplicar uma equação por número não nulo; (iii) somar a uma equação um múltiplo de outra.
  • O objetivo é eliminar uma incógnita de uma das equações (transformar numa forma triangular), então resolver a incógnita mais simples e voltar substituindo (substituição regressiva).
As incógnitas são x e y.

Passo 3

Escrever o sistema como matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação, a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 5 & 13\\[4pt] 4 & 3 & 1 \end{array}\right]
Aqui a primeira coluna corresponde aos coeficientes de x, a segunda aos coeficientes de y, e a coluna à direita é a constante de cada equação.]

Passo 4

Escolher o pivô na primeira linha, primeira coluna: o número 1 (coeficiente de x na primeira equação). Usamos esse pivô para eliminar x da segunda equação. Aplicamos a operação de linha:
\text{Linha}_2 \leftarrow \text{Linha}_2 - 4\cdot\text{Linha}_1.
Calculemos termo a termo:
  • Para a primeira coluna: 4 - 4\cdot1 = 4-4 = 0.
  • Para a segunda coluna: 3 - 4\cdot5 = 3-20 = -17.
  • Para a coluna dos termos independentes: 1 - 4\cdot13 = 1 - 52 = -51.
A matriz aumentada após a operação fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 5 & 13\\[4pt] 0 & -17 & -51 \end{array}\right]]

Passo 5

Interpretar essa matriz de volta como sistema escalonado (triangular):
\begin{cases} x + 5y = 13,\\[4pt] -17y = -51. \end{cases}
A segunda equação já tem só uma incógnita ( y), então resolvemos primeiro por ela.]

Passo 6

Resolver a equação para y:
-17y = -51.
Dividindo ambos os lados por -17 (operação permitida porque -17\neq 0):
y = \frac{-51}{-17} = \frac{51}{17}.
Como 51 = 3\cdot17, tem-se \dfrac{51}{17}=3. Logo
y = 3.

Passo 7

Agora encontramos x substituindo y=3 na primeira equação:
x + 5y = 13 \quad\Rightarrow\quad x + 5\cdot 3 = 13.
Calculando:
x + 15 = 13 \quad\Rightarrow\quad x = 13 - 15 = -2.

Passo 8

Fazer a verificação rápida substituindo (x,y)=(-2,3) na segunda equação original:
4x + 3y = 4\cdot(-2) + 3\cdot 3 = -8 + 9 = 1,
que coincide com o lado direito da segunda equação. Então a solução está correta.

Passo 9

Conclusão sobre a natureza da solução: obtivemos um único par (x,y) que satisfaz ambas as equações, portanto o sistema é compatível determinado (tem solução única).

Resposta

x = -2
y = 3

Exercícios relacionados