Resolva os sistemas lineares abaixo através dos MÉTODOS ITERATIVOS DE JACOBI E DE GAUSS-SEIDEL, CONSIDERANDO NO MÁXIMO 10 ITERAÇÕES.
X^{0}=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 1 & 3\end{array}\right]^{\top} e \varepsilon<10^{-2}
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=5 \\ x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}=26 \\\ 3 x_{2}-7 x_{3}+2 x_{4}=-7 \\\ -2 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}+10 x_{4}=33 \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados claros:
  • Pede resolver o sistema linear pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, usando no máximo 10 iterações.
  • Tem-se o vetor inicial
X^{0}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]3\end{bmatrix},
a tolerância \varepsilon<10^{-2}\) e limite máximo de \(10\) iterações. - O sistema fornecido é \[\begin{cases} 5x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=5,\\[4pt] x_{1}+9x_{2}-3x_{3}+4x_{4}=26,\\[4pt] 3x_{2}-7x_{3}+2x_{4}=-7,\\[4pt] -2x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+10x_{4}=33. \end{cases}
Perguntas que vamos responder concretamente:
  • Aplicar o método de Jacobi até no máximo 10 iterações ou até a diferença entre iterações ficar abaixo de (10^{-2}].
  • Aplicar o método de Gauss–Seidel com a mesma regra de parada.]

Passo 2

Escrever o sistema na forma matricial A x = b (peguei os coeficientes do enunciado):
A=\begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 & -1\\[2pt] 1 & 9 & -3 & 4\\[2pt] 0 & 3 & -7 & 2\\[2pt] -2 & 2 & -3 & 10 \end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}5\\[2pt]26\\[2pt]-7\\[2pt]33\end{bmatrix}.]

Passo 3

Breve explicação dos métodos e critério de parada (aula rápida e prática).
  • Método de Jacobi: isolamos cada x_i na sua própria equação e, na iteração k+1, usamos apenas os valores da iteração anterior k. A fórmula geral é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\ne i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Aqui a_{ii} é o elemento diagonal da linha i e b_i é a entrada i de b.
  • Método de Gauss–Seidel: também isolamos cada x_i, mas dentro da mesma iteração usamos os valores já atualizados para índices menores. A fórmula é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}\,x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Isto costuma convergir mais rápido quando converge.
  • Critério de parada usado: norma infinito da diferença entre iterações consecutivas. Ou seja, paramos se
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<\varepsilon.
Se não atingir \varepsilon antes de 10 iterações, paramos na 10ª iteração (conforme pedido).

Passo 4

Verificação de convergência suficiente (entender se os métodos devem convergir).
  • Checagem de dominância diagonal linha a linha (peguei os coeficientes da matriz A):
    • Linha 1: |a_{11}|=5 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=1+2+1=4, então 5>4.
    • Linha 2: |a_{22}|=9 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=1+3+4=8, então 9>8.
    • Linha 3: |a_{33}|=7 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=3+2=5, então 7>5.
    • Linha 4: |a_{44}|=10 e \sum_{j\ne4}|a_{4j}|=2+2+3=7, então 10>7.
  • Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, o que é um bom indicativo (condição suficiente) de que ambos os métodos iterativos vão convergir. Isso nos dá segurança prática para usar os métodos.

Passo 5

Isolar cada variável (fórmulas específicas do sistema que usaremos nas iterações).
A partir de cada equação:
\begin{aligned} x_{1} &=\frac{1}{5}\bigl(5 + x_{2} - 2x_{3} + x_{4}\bigr),\\[4pt] x_{2} &=\frac{1}{9}\bigl(26 - x_{1} + 3x_{3} - 4x_{4}\bigr),\\[4pt] x_{3} &=1 + \frac{3}{7}x_{2} + \frac{2}{7}x_{4},\\[4pt] x_{4} &=\frac{1}{10}\bigl(33 + 2x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3}\bigr). \end{aligned}
  • No método de Jacobi todas as x_j do lado direito são tomadas com índice k (iteração anterior).
  • No método de Gauss–Seidel, ao calcular x_2^{(k+1)} por exemplo, usa-se o x_1^{(k+1)} recém-calculado, etc.
Agora aplicamos as fórmulas numericamente, sempre mostrando a norma infinito da diferença para acompanhar a condição \varepsilon<10^{-2}.]

Passo 6

Método de Jacobi — configuração inicial e iteração k=0\to1.
  • Vetor inicial (peguei do enunciado):
x^{(0)}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]3\end{bmatrix}.
  • Usando as fórmulas de Jacobi:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\tfrac{1}{5}\bigl(5+3-2\cdot1+3\bigr)=\tfrac{9}{5}=1{,}8,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\tfrac{1}{9}\bigl(26-1+3\cdot1-4\cdot3\bigr)=\tfrac{16}{9}\approx1{,}7777778,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=1+\tfrac{3}{7}\cdot3+\tfrac{2}{7}\cdot3=1+\tfrac{15}{7}\approx3{,}1428571,\\[4pt] x_{4}^{(1)}&=\tfrac{1}{10}\bigl(33+2\cdot1-2\cdot3+3\cdot1\bigr)=\tfrac{32}{10}=3{,}2. \end{aligned}
Logo
x^{(1)}\approx\begin{bmatrix}1{,}800000\\[2pt]1{,}777778\\[2pt]3{,}142857\\[2pt]3{,}200000\end{bmatrix}, \quad \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}\approx2{,}142857>10^{-2},
continua.]

Passo 7

Método de Jacobi — iterações k=1 até k=4 (cálculos passo a passo agrupados).
  • k=1\to2:
\begin{aligned} x^{(2)}&\approx\begin{bmatrix} 0{,}7384127\\[2pt] 2{,}3142857\\[2pt] 2{,}6761905\\[2pt] 4{,}2473016 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}\approx1{,}0615873. \end{aligned}
  • k=2\to3:
x^{(3)}\approx\begin{bmatrix} 1{,}2418413\\[2pt] 1{,}8112169\\[2pt] 3{,}2053515\\[2pt] 3{,}7876825 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx0{,}529160997.
  • k=3\to4:
x^{(4)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}8376393\\[2pt] 2{,}1359426\\[2pt] 2{,}8584298\\[2pt] 4{,}1477303 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx0{,}404201964.]

Passo 8

Método de Jacobi — iterações k=4 até k=7.
  • k=4\to5:
x^{(5)}\approx\begin{bmatrix} 1{,}1133626\\[2pt] 1{,}9051921\\[2pt] 3{,}1004698\\[2pt] 3{,}8978683 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0{,}275723332.
  • k=5\to6:
x^{(6)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9204242\\[2pt] 2{,}0662859\\[2pt] 2{,}9301876\\[2pt] 4{,}0717750 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}\approx0{,}192938457.
  • k=6\to7:
x^{(7)}\approx\begin{bmatrix} 1{,}0555372\\[2pt] 1{,}9536709\\[2pt] 3{,}0489154\\[2pt] 3{,}9498839 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}\approx0{,}135113.]

Passo 9

Método de Jacobi — iterações k=7 até k=10 (últimas até o máximo permitido).
  • k=7\to8:
x^{(8)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9611448\\[2pt] 2{,}0324082\\[2pt] 2{,}9658244\\[2pt] 4{,}0350479 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}\approx0{,}094392363.
  • k=8\to9:
x^{(9)}\approx\begin{bmatrix} 1{,}0271615\\[2pt] 1{,}9773485\\[2pt] 3{,}0239029\\[2pt] 3{,}9754946 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}\approx0{,}06601665.
  • k=9\to10:
x^{(10)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9810075\\[2pt] 2{,}0158409\\[2pt] 2{,}9832907\\[2pt] 4{,}0171334 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}\approx0{,}04615397.
  • Observação importante: após 10 iterações a norma infinito ainda é aproximadamente 4{,}6\times10^{-2}, i.e. não atingiu \varepsilon=10^{-2}. Como o enunciado permite no máximo 10 iterações, paramos aqui e entregamos x^{(10)} como aproximação pelo método de Jacobi.]

Passo 10

Método de Gauss–Seidel — iteração k=0\to1 (uso imediato dos valores atualizados).
  • Começando de x^{(0)}=\begin{bmatrix}1&3&1&3\end{bmatrix}^{\top}:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\tfrac{1}{5}(5+3-2\cdot1+3)=1{,}8,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\tfrac{1}{9}(26-1{,}8+3\cdot1-4\cdot3)\approx1{,}6888889,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=1+\tfrac{3}{7}\cdot1{,}6888889+\tfrac{2}{7}\cdot3\approx2{,}5809524,\\[4pt] x_{4}^{(1)}&=\tfrac{1}{10}\bigl(33+2\cdot1{,}8-2\cdot1{,}6888889+3\cdot2{,}5809524\bigr)\approx4{,}0965079. \end{aligned}
x^{(1)}\approx\begin{bmatrix}1{,}800000\\[2pt]1{,}6888889\\[2pt]2{,}5809524\\[2pt]4{,}0965079\end{bmatrix}, \quad \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}\approx1{,}5809524.]

Passo 11

Método de Gauss–Seidel — iterações k=1 até k=3.
  • k=1\to2:
x^{(2)}\approx\begin{bmatrix} 1{,}1246984\\[2pt] 1{,}8035697\\[2pt] 2{,}9433891\\[2pt] 4{,}0472425 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}\approx0{,}6753016.
  • k=2\to3:
x^{(3)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9928068\\[2pt] 1{,}9609323\\[2pt] 2{,}9967546\\[2pt] 4{,}0054013 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx0{,}1573626.]

Passo 12

Método de Gauss–Seidel — iterações k=3 até k=5 (onde convergimos segundo \varepsilon).
  • k=3\to4:
x^{(4)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9945649\\[2pt] 1{,}9971215\\[2pt] 3{,}0003096\\[2pt] 3{,}9995815 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx0{,}0361892.
  • k=4\to5:
x^{(5)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9992168\\[2pt] 2{,}0003762\\[2pt] 3{,}0000412\\[2pt] 3{,}9997805 \end{bmatrix},\qquad \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0{,}0046519<10^{-2}.
  • Conclusão: o método de Gauss–Seidel atingiu a tolerância \varepsilon<10^{-2} após 5 iterações. Isso ilustra o ganho prático: GS atualiza valores dentro da mesma iteração e costuma convergir mais rápido.]

Passo 13

Resumo final dos resultados numéricos (aplicação prática e interpretação rápida):
  • Jacobi após 10 iterações (não satisfeito \varepsilon, pois \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}\approx4{,}6\times10^{-2}>10^{-2}):
x^{(10)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9810075\\[2pt] 2{,}0158409\\[2pt] 2{,}9832907\\[2pt] 4{,}0171334 \end{bmatrix}.
  • Gauss–Seidel após 5 iterações (critério satisfeito):
x^{(5)}\approx\begin{bmatrix} 0{,}9992168\\[2pt] 2{,}0003762\\[2pt] 3{,}0000412\\[2pt] 3{,}9997805 \end{bmatrix}.]

Resposta

Jacobi (após 10 iterações):
\begin{bmatrix} 0{,}9810075\\[2pt] 2{,}0158409\\[2pt] 2{,}9832907\\[2pt] 4{,}0171334 \end{bmatrix}
Gauss–Seidel (após 5 iterações, \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}<10^{-2}):
\begin{bmatrix} 0{,}9992168\\[2pt] 2{,}0003762\\[2pt] 3{,}0000412\\[2pt] 3{,}9997805 \end{bmatrix} ]

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