Resolva os sistemas lineares abaixo através dos MÉTODOS ITERATIVOS DE JACOBI E DE GAUSS-SEIDEL, CONSIDERANDO NO MÁXIMO 10 ITERAÇÕES. X^{0}=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 1 & 3\end{array}\right]^{\top} e \varepsilon<10^{-2}
a tolerância \varepsilon<10^{-2}\) e limite máximo de \(10\) iterações.
- O sistema fornecido é
\[\begin{cases} 5x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=5,\\[4pt] x_{1}+9x_{2}-3x_{3}+4x_{4}=26,\\[4pt] 3x_{2}-7x_{3}+2x_{4}=-7,\\[4pt] -2x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+10x_{4}=33. \end{cases}
Perguntas que vamos responder concretamente:
Aplicar o método de Jacobi até no máximo 10 iterações ou até a diferença entre iterações ficar abaixo de (10^{-2}].
Aplicar o método de Gauss–Seidel com a mesma regra de parada.]
Passo 2
Escrever o sistema na forma matricial A x = b (peguei os coeficientes do enunciado):
Se não atingir \varepsilon antes de 10 iterações, paramos na 10ª iteração (conforme pedido).
Passo 4
Verificação de convergência suficiente (entender se os métodos devem convergir).
Checagem de dominância diagonal linha a linha (peguei os coeficientes da matriz A):
Linha 1: |a_{11}|=5 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=1+2+1=4, então 5>4.
Linha 2: |a_{22}|=9 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=1+3+4=8, então 9>8.
Linha 3: |a_{33}|=7 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=3+2=5, então 7>5.
Linha 4: |a_{44}|=10 e \sum_{j\ne4}|a_{4j}|=2+2+3=7, então 10>7.
Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, o que é um bom indicativo (condição suficiente) de que ambos os métodos iterativos vão convergir. Isso nos dá segurança prática para usar os métodos.
Passo 5
Isolar cada variável (fórmulas específicas do sistema que usaremos nas iterações).
A partir de cada equação:
Observação importante: após 10 iterações a norma infinito ainda é aproximadamente 4{,}6\times10^{-2}, i.e. não atingiu \varepsilon=10^{-2}. Como o enunciado permite no máximo 10 iterações, paramos aqui e entregamos x^{(10)} como aproximação pelo método de Jacobi.]
Passo 10
Método de Gauss–Seidel — iteração k=0\to1 (uso imediato dos valores atualizados).
Começando de x^{(0)}=\begin{bmatrix}1&3&1&3\end{bmatrix}^{\top}:
Conclusão: o método de Gauss–Seidel atingiu a tolerância \varepsilon<10^{-2} após 5 iterações. Isso ilustra o ganho prático: GS atualiza valores dentro da mesma iteração e costuma convergir mais rápido.]
Passo 13
Resumo final dos resultados numéricos (aplicação prática e interpretação rápida):
Jacobi após 10 iterações (não satisfeito \varepsilon, pois \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}\approx4{,}6\times10^{-2}>10^{-2}):