Resolva os sistemas lineares abaixo através dos MÉTODOS ITERATIVOS DE JACOBI E DE GAUSS-SEIDEL, CONSIDERANDO NO MÁXIMO 10 ITERAÇÕES. \mathrm{X}^{0}=\left[\begin{array}{lllll}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top} \mathrm{e} \varepsilon<10^{-2}
O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo método iterativo de Jacobi e pelo método iterativo de Gauss–Seidel, com no máximo 10 iterações, partindo de [\mathrm{X}^{0}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{\top}) e usando critério de parada \varepsilon<10^{-2}.
Vamos isolar cada variável para obter as fórmulas iterativas (mesmas relações para Jacobi e Gauss–Seidel; a diferença é como as atualizações são aplicadas). Isolando em cada equação:
No método de Jacobi, cada x_i^{(k+1)} é calculado usando somente os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para todos j.
No método de Gauss–Seidel, ao calcular x_i^{(k+1)} usa-se, sempre que disponível, o valor já atualizado x_j^{(k+1)} para j<i e os valores antigos x_j^{(k)} para j>i. Isso costuma acelerar a convergência.]
Passo 3
Verificação de convergência (condição prática usada aqui):
Uma condição suficiente que garante convergência dos métodos iterativos é a dominância diagonal estrita da matriz A.
As diagonais são \{10,\,-8,\,7,\,-10,\,-7\} e os somatórios dos outros módulos por linha são \{8,\,6,\,6,\,8,\,6\}. Em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes. Logo a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas e ambos os métodos convergem a solução do sistema (aqui temos segurança prática de convergência).
Passo 4
Critério de parada que será usado nas iterações:
Definir \varepsilon^{(k)}=\max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}| (norma \infty da diferença entre iterações).
Parar quando \varepsilon^{(k)}<10^{-2} ou quando atingir 10 iterações.
Vou mostrar as iterações uma a uma, com os cálculos numéricos necessários. O vetor inicial é \mathrm{X}^{0}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{\top}.
Agora fazemos as iterações para cada método.
Passo 5
Método de Jacobi — iteração k=1 (usar \mathrm{X}^{0} em todas as fórmulas):
Portanto o método de Jacobi converge em 6 iterações para a tolerância pedida.]
Passo 11
Agora Gauss–Seidel (GS). Relembrando a diferença prática: nas fórmulas já isoladas usamos, ao calcular x_i^{(k+1)}, os x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} já atualizados e os x_{i+1}^{(k)},\dots ainda antigos. Partimos de \mathrm{X}^{0}=\mathbf{0}.