Resolva os sistemas lineares abaixo através dos MÉTODOS ITERATIVOS DE JACOBI E DE GAUSS-SEIDEL, CONSIDERANDO NO MÁXIMO 10 ITERAÇÕES.
\mathrm{X}^{0}=\left[\begin{array}{lllll}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top} \mathrm{e} \varepsilon<10^{-2}
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}+4 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}=2 \\\ -8 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=5 \\\ 2 x_{1}-4 x_{2}+7 x_{3}=13 \\\ -x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}-10 x_{4}+2 x_{5}=4 \\\ 2 x_{1}-2 x_{2}-x_{3}+x_{4}-7 x_{5}=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo método iterativo de Jacobi e pelo método iterativo de Gauss–Seidel, com no máximo 10 iterações, partindo de [\mathrm{X}^{0}= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{\top}) e usando critério de parada \varepsilon<10^{-2}.
As equações dadas são (copiadas do enunciado):
\begin{cases} 10x_{1} + 4x_{2} - x_{3} + 3x_{4} = 2,\\[4pt] -8x_{2} - 2x_{3} + x_{4} - 3x_{5} = 5,\\[4pt] 2x_{1} - 4x_{2} + 7x_{3} = 13,\\[4pt] - x_{1} + 2x_{2} - 3x_{3} -10x_{4} + 2x_{5} = 4,\\[4pt] 2x_{1} - 2x_{2} - x_{3} + x_{4} -7x_{5} = 7. \end{cases}
Informações relevantes:
  • Vetor inicial: \mathrm{X}^{0}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{\top}\]. - Tolerância de parada: \(\varepsilon<10^{-2}.
    - Máximo de iterações: 10.]

Passo 2

Vamos isolar cada variável para obter as fórmulas iterativas (mesmas relações para Jacobi e Gauss–Seidel; a diferença é como as atualizações são aplicadas). Isolando em cada equação:
\begin{aligned} x_{1} &= \dfrac{1}{10}\bigl(2 - 4x_{2} + x_{3} - 3x_{4}\bigr),\\[6pt] x_{2} &= -\dfrac{1}{8}\bigl(5 + 2x_{3} - x_{4} + 3x_{5}\bigr),\\[6pt] x_{3} &= \dfrac{1}{7}\bigl(13 - 2x_{1} + 4x_{2}\bigr),\\[6pt] x_{4} &= -\dfrac{1}{10}\bigl(4 + x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} - 2x_{5}\bigr),\\[6pt] x_{5} &= -\dfrac{1}{7}\bigl(7 - 2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} - x_{4}\bigr). \end{aligned}
Breve explicação de uso:
  • No método de Jacobi, cada x_i^{(k+1)} é calculado usando somente os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para todos j.
  • No método de Gauss–Seidel, ao calcular x_i^{(k+1)} usa-se, sempre que disponível, o valor já atualizado x_j^{(k+1)} para j<i e os valores antigos x_j^{(k)} para j>i. Isso costuma acelerar a convergência.]

Passo 3

Verificação de convergência (condição prática usada aqui):
  • Uma condição suficiente que garante convergência dos métodos iterativos é a dominância diagonal estrita da matriz A.
  • As diagonais são \{10,\,-8,\,7,\,-10,\,-7\} e os somatórios dos outros módulos por linha são \{8,\,6,\,6,\,8,\,6\}. Em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes. Logo a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas e ambos os métodos convergem a solução do sistema (aqui temos segurança prática de convergência).

Passo 4

Critério de parada que será usado nas iterações:
  • Definir \varepsilon^{(k)}=\max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}| (norma \infty da diferença entre iterações).
  • Parar quando \varepsilon^{(k)}<10^{-2} ou quando atingir 10 iterações.
  • Vou mostrar as iterações uma a uma, com os cálculos numéricos necessários. O vetor inicial é \mathrm{X}^{0}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{\top}.
Agora fazemos as iterações para cada método.

Passo 5

Método de Jacobi — iteração k=1 (usar \mathrm{X}^{0} em todas as fórmulas):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)} &= \tfrac{1}{10}\bigl(2 - 4\cdot 0 + 0 - 3\cdot 0\bigr)=0{,}2,\\[4pt] x_{2}^{(1)} &= -\tfrac{1}{8}\bigl(5 + 2\cdot 0 - 0 + 3\cdot 0\bigr)=-\tfrac{5}{8}=-0{,}625,\\[4pt] x_{3}^{(1)} &= \tfrac{1}{7}\bigl(13 - 2\cdot 0 + 4\cdot 0\bigr)=\tfrac{13}{7}\approx1{,}857142857,\\[4pt] x_{4}^{(1)} &= -\tfrac{1}{10}\bigl(4 + 0 - 0 + 3\cdot 0 - 2\cdot 0\bigr)=-0{,}4,\\[4pt] x_{5}^{(1)} &= -\tfrac{1}{7}\bigl(7 - 0 + 0 + 0 - 0\bigr)=-1. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(1)}_{\text{Jacobi}} \approx \begin{bmatrix}0{,}2\\\ -0{,}625\\\ 1{,}857142857\\\ -0{,}4\\\ -1\end{bmatrix}.
Diferença \varepsilon^{(1)}=\max\{0{,}2,0{,}625,1{,}8571,0{,}4,1\}=1{,}857142857>10^{-2}.]

Passo 6

Método de Jacobi — iteração k=2 (usar \mathrm{X}^{(1)} em todas as fórmulas):
Cálculos (aproximações):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)} &\approx 0{,}1\bigl(2 -4(-0{,}625) + 1{,}857142857 -3(-0{,}4)\bigr)\approx0{,}755714286,\\[4pt] x_{2}^{(2)} &\approx -0{,}125\bigl(5 +2(1{,}857142857) -(-0{,}4) +3(-1)\bigr)\approx-0{,}764285714,\\[4pt] x_{3}^{(2)} &\approx \tfrac{1}{7}\bigl(13 -2(0{,}2) +4(-0{,}625)\bigr)\approx1{,}442857143,\\[4pt] x_{4}^{(2)} &\approx -0{,}1\bigl(4 +0{,}2 -2(-0{,}625) +3(1{,}857142857) -2(-1)\bigr)\approx-1{,}302142857,\\[4pt] x_{5}^{(2)} &\approx -\tfrac{1}{7}\bigl(7 -2(0{,}2) +2(-0{,}625) +1{,}857142857 -(-0{,}4)\bigr)\approx-1{,}086734694. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(2)}_{\text{Jacobi}}\approx\begin{bmatrix}0{,}755714286\\\ -0{,}764285714\\\ 1{,}442857143\\\ -1{,}302142857\\\ -1{,}086734694\end{bmatrix}.
Diferença \varepsilon^{(2)}\approx0{,}902142857>10^{-2}.]

Passo 7

Método de Jacobi — iteração k=3:
Cálculos (usar \mathrm{X}^{(2)}):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)} &\approx 1{,}040642857,\\[4pt] x_{2}^{(3)} &\approx -0{,}7409566325,\\[4pt] x_{3}^{(3)} &\approx 1{,}204489796,\\[4pt] x_{4}^{(3)} &\approx -1{,}2786326531,\\[4pt] x_{5}^{(3)} &\approx -0{,}957857143. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(3)}_{\text{Jacobi}}\approx\begin{bmatrix}1{,}040642857\\\ -0{,}7409566325\\\ 1{,}204489796\\\ -1{,}2786326531\\\ -0{,}957857143\end{bmatrix}.
Diferença \varepsilon^{(3)}\approx0{,}28493>10^{-2}.]

Passo 8

Método de Jacobi — iteração k=4:
Cálculos:
\begin{aligned} x_{1}^{(4)} &\approx 1{,}0004214285,\\[4pt] x_{2}^{(4)} &\approx -0{,}7267551020,\\[4pt] x_{3}^{(4)} &\approx 1{,}1364125366,\\[4pt] x_{4}^{(4)} &\approx -1{,}2051739796,\\[4pt] x_{5}^{(4)} &\approx -0{,}8457033529. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(4)}_{\text{Jacobi}}\approx\begin{bmatrix}1{,}000421429\\\ -0{,}7267551020\\\ 1{,}136412537\\\ -1{,}205173980\\\ -0{,}845703353\end{bmatrix}.
Diferença \varepsilon^{(4)}\approx0{,}11215379>10^{-2}.]

Passo 9

Método de Jacobi — iteração k=5:
Cálculos:
\begin{aligned} x_{1}^{(5)} &\approx 0{,}9658954883,\\[4pt] x_{2}^{(5)} &\approx -0{,}7426111244,\\[4pt] x_{3}^{(5)} &\approx 1{,}1560195334,\\[4pt] x_{4}^{(5)} &\approx -1{,}1554575950,\\[4pt] x_{5}^{(5)} &\approx -0{,}8396047793. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(5)}_{\text{Jacobi}}\approx\begin{bmatrix}0{,}9658954883\\\ -0{,}7426111244\\\ 1{,}1560195334\\\ -1{,}1554575950\\\ -0{,}8396047793\end{bmatrix}.
Diferença \varepsilon^{(5)}\approx0{,}049716>10^{-2}.]

Passo 10

Método de Jacobi — iteração k=6 (verificação de parada):
Cálculos:
\begin{aligned} x_{1}^{(6)} &\approx 0{,}9592836816,\\[4pt] x_{2}^{(6)} &\approx -0{,}7435852905,\\[4pt] x_{3}^{(6)} &\approx 1{,}1568235037,\\[4pt] x_{4}^{(6)} &\approx -1{,}1598385896,\\[4pt] x_{5}^{(6)} &\approx -0{,}8420662719. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(6)}_{\text{Jacobi}}\approx\begin{bmatrix}0{,}9592836816\\\ -0{,}7435852905\\\ 1{,}1568235037\\\ -1{,}1598385896\\\ -0{,}8420662719\end{bmatrix}.
Diferença \varepsilon^{(6)}\approx\max\{|0{,}9592836816-0{,}9658954883|,\dots\}\approx0{,}0066118<10^{-2}.
Portanto o método de Jacobi converge em 6 iterações para a tolerância pedida.]

Passo 11

Agora Gauss–Seidel (GS). Relembrando a diferença prática: nas fórmulas já isoladas usamos, ao calcular x_i^{(k+1)}, os x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} já atualizados e os x_{i+1}^{(k)},\dots ainda antigos. Partimos de \mathrm{X}^{0}=\mathbf{0}.

Passo 12

Gauss–Seidel — iteração k=1:
Passo a passo (atualizações imediatas):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)} &= 0{,}2,\\[4pt] x_{2}^{(1)} &= -0{,}625,\\[4pt] x_{3}^{(1)} &= \tfrac{1}{7}\bigl(13 -2(0{,}2) +4(-0{,}625)\bigr)=1{,}442857143,\\[4pt] x_{4}^{(1)} &=-0{,}1\bigl(4 +0{,}2 -2(-0{,}625) +3(1{,}442857143) -2\cdot 0\bigr)\approx-0{,}9778571429,\\[4pt] x_{5}^{(1)} &=-\tfrac{1}{7}\bigl(7 -2(0{,}2) +2(-0{,}625) +1{,}442857143 -(-0{,}9778571429)\bigr)\approx-1{,}110101. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(1)}_{\text{GS}}\approx\begin{bmatrix}0{,}2\\\ -0{,}625\\\ 1{,}442857143\\\ -0{,}9778571429\\\ -1{,}110101\end{bmatrix}.]

Passo 13

Gauss–Seidel — iteração k=2:
Usando os valores atualizados da iteração 1 conforme GS:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)} &\approx 0{,}8876428572,\\[4pt] x_{2}^{(2)} &\approx -0{,}6916585537,\\[4pt] x_{3}^{(2)} &\approx 1{,}2082971530,\\[4pt] x_{4}^{(2)} &\approx -1{,}2116053424,\\[4pt] x_{5}^{(2)} &\approx -0{,}8944713819. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(2)}_{\text{GS}}\approx\begin{bmatrix}0{,}8876428572\\\ -0{,}6916585537\\\ 1{,}2082971530\\\ -1{,}2116053424\\\ -0{,}8944713819\end{bmatrix}.]

Passo 14

Gauss–Seidel — iteração k=3:
Atualizando sequencialmente:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)} &\approx 0{,}9609747395,\\[4pt] x_{2}^{(3)} &\approx -0{,}7430981878,\\[4pt] x_{3}^{(3)} &\approx 1{,}1579510960,\\[4pt] x_{4}^{(3)} &\approx -1{,}1710967167,\\[4pt] x_{5}^{(3)} &\approx -0{,}8458428512. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(3)}_{\text{GS}}\approx\begin{bmatrix}0{,}9609747395\\\ -0{,}7430981878\\\ 1{,}1579510960\\\ -1{,}1710967167\\\ -0{,}8458428512\end{bmatrix}.]

Passo 15

Gauss–Seidel — iteração k=4 e verificação de parada:
Próxima atualização sequencial fornece:
\begin{aligned} x_{1}^{(4)} &\approx 0{,}9643633997,\\[4pt] x_{2}^{(4)} &\approx -0{,}7436837944,\\[4pt] x_{3}^{(4)} &\approx 1{,}1566482890,\\[4pt] x_{4}^{(4)} &\approx -1{,}1613361558,\\[4pt] x_{5}^{(4)} &\approx -0{,}8431271509. \end{aligned}
Vetor \mathrm{X}^{(4)}_{\text{GS}}\approx\begin{bmatrix}0{,}9643633997\\\ -0{,}7436837944\\\ 1{,}1566482890\\\ -1{,}1613361558\\\ -0{,}8431271509\end{bmatrix}.
Diferença entre iterações 3 e 4: \varepsilon^{(4)}\approx0{,}00976056<10^{-2}. Logo o método de Gauss–Seidel atingiu a tolerância em 4 iterações.]

Resposta

Jacobi (parou em 6 iterações, \varepsilon<10^{-2}):
\mathrm{X}_{\text{Jacobi}}\approx \begin{bmatrix} 0{,}9592836816\\[4pt] -0{,}7435852905\\[4pt] 1{,}1568235037\\[4pt] -1{,}1598385896\\[4pt] -0{,}8420662719 \end{bmatrix}
Gauss–Seidel (parou em 4 iterações, \varepsilon<10^{-2}):
\mathrm{X}_{\text{Gauss–Seidel}}\approx \begin{bmatrix} 0{,}9643633997\\[4pt] -0{,}7436837944\\[4pt] 1{,}1566482890\\[4pt] -1{,}1613361558\\[4pt] -0{,}8431271509 \end{bmatrix}]

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