1- Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss, classifique-os e calcule o determinante de cada um deles. Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais. \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=7,12 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=12,02 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=14,90 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=20,72\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas e pede três coisas: (1) encontrar o vetor solução pelo método de eliminação de Gauss, (2) classificar o sistema e (3) calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Os dados fornecidos são as equações
Informação útil que vou usar explicitamente: os coeficientes e termos independentes acima (todos mostrados com quatro casas decimais quando necessários).]
Passo 2
Breve aula-sanduíche sobre eliminação de Gauss (modo prático e o que cada operação faz).
Objetivo: transformar o sistema num sistema triangular superior por operações elementares de linha (soma de múltiplos de linhas, troca de linhas, multiplicar linha por escalar).
Observações importantes:
Trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
Somar a uma linha múltiplo de outra não altera o determinante.
Quando obtivermos uma matriz triangular superior U, o determinante de U é o produto de suas entradas diagonais; se fizemos s trocas de linha ao longo do método, então \det(A)=(-1)^{s}\prod_{i}u_{ii}.
Vou montar a matriz aumentada (A|b) e aplicar eliminação, mostrando cada operação e arredondando resultados a 4 casas decimais conforme pedido.
A matriz aumentada inicial (com todos os números escritos com 4 casas decimais) é
Agora precisamos de um pivô não nulo na segunda linha, segunda coluna. Observação: a_{22} atual (linha 2, coluna 2) é 0{,}0000, então trocamos R_{2} com R_{3} para obter pivô 3{,}0000 na posição (2,2). Essa troca altera o sinal do determinante (marcamos uma troca).
Troca: R_{2}\leftrightarrow R_{3}. (Agora número de trocas s=1.)
Zerar abaixo do pivô na terceira coluna a_{33}=3{,}0000.
Fator para zerar R_{4}: \displaystyle \mu=\frac{a_{43}}{a_{33}}=\frac{-4{,}0000}{3{,}0000}=-\tfrac{4}{3}\approx-1{,}3333.
Fazer R_{4}\leftarrow R_{4}-\mu R_{3}. Como \mu é negativo, efetivamente adiciona-se \tfrac{4}{3}R_{3}.
Cálculos (com 4 casas decimais):
Nova entrada (4,3): -4{,}0000-( -1{,}3333)(3{,}0000)= -4{,}0000 +4{,}0000 = 0{,}0000.
Nova entrada (4,4): -11{,}0000-( -1{,}3333)(2{,}0000)= -11{,}0000 +2{,}6667 = -8{,}3333.
Novo termo independente (4): -8{,}2000-( -1{,}3333)(4{,}9000)= -8{,}2000 +6{,}5333 = -1{,}6667.
Observação: exatamente, a última linha ficou [0,\;0,\;0,\;-25/3\;|\;-5/3], que arredondado a 4 casas é [0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;-8{,}3333\;|\;-1{,}6667].
Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) para obter as incógnitas.
Da última linha (linha 4): -8{,}3333\,x_{4}=-1{,}6667. Logox_{4}=\frac{-1{,}6667}{-8{,}3333}=0{,}2000.(Exatamente x_{4}=0{,}2.)
Da linha 3: 3{,}0000\,x_{3}+2{,}0000\,x_{4}=4{,}9000. Substituindo x_{4}=0{,}2000:3{,}0000\,x_{3}+2{,}0000(0{,}2000)=4{,}9000 \quad\Rightarrow\quad 3{,}0000\,x_{3}+0{,}4000=4{,}9000
Da linha 2: 3{,}0000\,x_{2}-3{,}0000\,x_{3}-6{,}0000\,x_{4}=0{,}6600. Substituindo x_{3}=1{,}5000 e x_{4}=0{,}2000:3{,}0000\,x_{2}-3{,}0000(1{,}5000)-6{,}0000(0{,}2000)=0{,}6600
Classificação do sistema e cálculo do determinante.
Classificação: como encontramos uma solução única e a eliminação levou a pivôs não nulos em todas as diagonais (nenhum pivô zero na triangular superior), o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).
Determinante: usando a triangular superior obtida, as entradas diagonais (depois das operações e considerando a troca de linha feita) são, com 4 casas decimais,u_{11}=1{,}0000,\qquad u_{22}=3{,}0000,\qquad u_{33}=3{,}0000,\qquad u_{44}=-8{,}3333.O produto das diagonais é\prod_{i}u_{ii}=1{,}0000\cdot3{,}0000\cdot3{,}0000\cdot(-8{,}3333)=-75{,}0000\quad(\text{aprox.}).Lembrete: como houve s=1 troca de linhas durante a eliminação, \det(A)=(-1)^{s}\prod_{i}u_{ii}=(-1)^{1}(-75{,}0000)=75{,}0000.
Observação: usando as frações exatas, o último pivô foi -25/3 e o produto exato dá \det(A)=75. Arredondado a 4 casas: \det(A)=75{,}0000.
Resposta
\displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1{,}2000\\[2pt]2{,}1200\\[2pt]1{,}5000\\[2pt]0{,}2000\end{pmatrix}
Sistema compatível determinado (única solução). \det(A)=75{,}0000]