1- Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss, classifique-os e calcule o determinante de cada um deles. Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=7,12 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=12,02 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=14,90 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=20,72\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas e pede três coisas: (1) encontrar o vetor solução pelo método de eliminação de Gauss, (2) classificar o sistema e (3) calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Os dados fornecidos são as equações
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=7{,}12,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+5x_{3}+6x_{4}=12{,}02,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}+2x_{4}=14{,}90,\\[4pt] 4x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+x_{4}=20{,}72. \end{cases}
Informação útil que vou usar explicitamente: os coeficientes e termos independentes acima (todos mostrados com quatro casas decimais quando necessários).]

Passo 2

Breve aula-sanduíche sobre eliminação de Gauss (modo prático e o que cada operação faz).
  • Objetivo: transformar o sistema num sistema triangular superior por operações elementares de linha (soma de múltiplos de linhas, troca de linhas, multiplicar linha por escalar).
  • Observações importantes:
    • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
    • Somar a uma linha múltiplo de outra não altera o determinante.
    • Quando obtivermos uma matriz triangular superior U, o determinante de U é o produto de suas entradas diagonais; se fizemos s trocas de linha ao longo do método, então \det(A)=(-1)^{s}\prod_{i}u_{ii}.
  • Vou montar a matriz aumentada (A|b) e aplicar eliminação, mostrando cada operação e arredondando resultados a 4 casas decimais conforme pedido.
A matriz aumentada inicial (com todos os números escritos com 4 casas decimais) é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}0000 & 7{,}1200\\[4pt] 1{,}0000 & 1{,}0000 & 5{,}0000 & 6{,}0000 & 12{,}0200\\[4pt] 2{,}0000 & 5{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 14{,}9000\\[4pt] 4{,}0000 & 6{,}0000 & 2{,}0000 & 1{,}0000 & 20{,}7200 \end{array}\right].]

Passo 3

Eliminação na primeira coluna (zerar elementos abaixo de a_{11}=1{,}0000).
  • Fazer R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}:
    • R_{2}=(1{,}0000-1{,}0000,\;1{,}0000-1{,}0000,\;5{,}0000-2{,}0000,\;6{,}0000-4{,}0000,\;12{,}0200-7{,}1200)
    • Resultado R_{2}=(0{,}0000,\;0{,}0000,\;3{,}0000,\;2{,}0000,\;4{,}9000).
  • Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}:
    • R_{3}=(2-2\cdot1,\;5-2\cdot1,\;1-2\cdot2,\;2-2\cdot4,\;14{,}9000-2\cdot7{,}1200)
    • Resultado R_{3}=(0{,}0000,\;3{,}0000,\;-3{,}0000,\;-6{,}0000,\;0{,}6600).
  • Fazer R_{4}\leftarrow R_{4}-4R_{1}:
    • R_{4}=(4-4\cdot1,\;6-4\cdot1,\;2-4\cdot2,\;1-4\cdot4,\;20{,}7200-4\cdot7{,}1200)
    • Resultado R_{4}=(0{,}0000,\;2{,}0000,\;-6{,}0000,\;-15{,}0000,\;-7{,}7600).
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}0000 & 7{,}1200\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 3{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}9000\\[4pt] 0{,}0000 & 3{,}0000 & -3{,}0000 & -6{,}0000 & 0{,}6600\\[4pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & -6{,}0000 & -15{,}0000 & -7{,}7600 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora precisamos de um pivô não nulo na segunda linha, segunda coluna. Observação: a_{22} atual (linha 2, coluna 2) é 0{,}0000, então trocamos R_{2} com R_{3} para obter pivô 3{,}0000 na posição (2,2). Essa troca altera o sinal do determinante (marcamos uma troca).
  • Troca: R_{2}\leftrightarrow R_{3}. (Agora número de trocas s=1.)
Matriz após troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}0000 & 7{,}1200\\[4pt] 0{,}0000 & 3{,}0000 & -3{,}0000 & -6{,}0000 & 0{,}6600\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 3{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}9000\\[4pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & -6{,}0000 & -15{,}0000 & -7{,}7600 \end{array}\right].]

Passo 5

Zerar abaixo do pivô a_{22}=3{,}0000 na coluna 2.
  • Fator para zerar R_{4} na coluna 2: \displaystyle \ell=\frac{a_{42}}{a_{22}}=\frac{2{,}0000}{3{,}0000}=\tfrac{2}{3}\approx0{,}6667.
  • Fazer R_{4}\leftarrow R_{4}-\ell R_{2}.
    • Cálculos (com 4 casas decimais):
      • Nova entrada (4,3): -6{,}0000-(0{,}6667)(-3{,}0000)=-6{,}0000+2{,}0000=-4{,}0000.
      • Nova entrada (4,4): -15{,}0000-(0{,}6667)(-6{,}0000)=-15{,}0000+4{,}0000=-11{,}0000.
      • Novo termo independente (4): -7{,}7600-(0{,}6667)(0{,}6600)=-7{,}7600-0{,}4400=-8{,}2000.
    • Observação: usar \tfrac{2}{3} dá os valores exatos -4{,}0000,\,-11{,}0000,\,-8{,}2000.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}0000 & 7{,}1200\\[4pt] 0{,}0000 & 3{,}0000 & -3{,}0000 & -6{,}0000 & 0{,}6600\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 3{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}9000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & -4{,}0000 & -11{,}0000 & -8{,}2000 \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar abaixo do pivô na terceira coluna a_{33}=3{,}0000.
  • Fator para zerar R_{4}: \displaystyle \mu=\frac{a_{43}}{a_{33}}=\frac{-4{,}0000}{3{,}0000}=-\tfrac{4}{3}\approx-1{,}3333.
  • Fazer R_{4}\leftarrow R_{4}-\mu R_{3}. Como \mu é negativo, efetivamente adiciona-se \tfrac{4}{3}R_{3}.
    • Cálculos (com 4 casas decimais):
      • Nova entrada (4,3): -4{,}0000-( -1{,}3333)(3{,}0000)= -4{,}0000 +4{,}0000 = 0{,}0000.
      • Nova entrada (4,4): -11{,}0000-( -1{,}3333)(2{,}0000)= -11{,}0000 +2{,}6667 = -8{,}3333.
      • Novo termo independente (4): -8{,}2000-( -1{,}3333)(4{,}9000)= -8{,}2000 +6{,}5333 = -1{,}6667.
    • Observação: exatamente, a última linha ficou [0,\;0,\;0,\;-25/3\;|\;-5/3], que arredondado a 4 casas é [0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;-8{,}3333\;|\;-1{,}6667].
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}0000 & 7{,}1200\\[4pt] 0{,}0000 & 3{,}0000 & -3{,}0000 & -6{,}0000 & 0{,}6600\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 3{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}9000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & -8{,}3333 & -1{,}6667 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) para obter as incógnitas.
  • Da última linha (linha 4): -8{,}3333\,x_{4}=-1{,}6667. Logo x_{4}=\frac{-1{,}6667}{-8{,}3333}=0{,}2000.(Exatamente x_{4}=0{,}2.)
  • Da linha 3: 3{,}0000\,x_{3}+2{,}0000\,x_{4}=4{,}9000. Substituindo x_{4}=0{,}2000: 3{,}0000\,x_{3}+2{,}0000(0{,}2000)=4{,}9000 \quad\Rightarrow\quad 3{,}0000\,x_{3}+0{,}4000=4{,}9000
3{,}0000\,x_{3}=4{,}5000\quad\Rightarrow\quad x_{3}=1{,}5000.
  • Da linha 2: 3{,}0000\,x_{2}-3{,}0000\,x_{3}-6{,}0000\,x_{4}=0{,}6600. Substituindo x_{3}=1{,}5000 e x_{4}=0{,}2000: 3{,}0000\,x_{2}-3{,}0000(1{,}5000)-6{,}0000(0{,}2000)=0{,}6600
3{,}0000\,x_{2}-4{,}5000-1{,}2000=0{,}6600
3{,}0000\,x_{2}=6{,}3600\quad\Rightarrow\quad x_{2}=2{,}1200.
  • Da linha 1: x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=7{,}1200. Substituindo x_{2},x_{3},x_{4}: x_{1}+2{,}1200+2(1{,}5000)+4(0{,}2000)=7{,}1200
x_{1}+2{,}1200+3{,}0000+0{,}8000=7{,}1200
x_{1}+5{,}9200=7{,}1200\quad\Rightarrow\quad x_{1}=1{,}2000.
Portanto o vetor solução, com quatro casas decimais, é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1{,}2000\\[2pt]2{,}1200\\[2pt]1{,}5000\\[2pt]0{,}2000\end{pmatrix}.]

Passo 8

Classificação do sistema e cálculo do determinante.
  • Classificação: como encontramos uma solução única e a eliminação levou a pivôs não nulos em todas as diagonais (nenhum pivô zero na triangular superior), o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).
  • Determinante: usando a triangular superior obtida, as entradas diagonais (depois das operações e considerando a troca de linha feita) são, com 4 casas decimais, u_{11}=1{,}0000,\qquad u_{22}=3{,}0000,\qquad u_{33}=3{,}0000,\qquad u_{44}=-8{,}3333.O produto das diagonais é \prod_{i}u_{ii}=1{,}0000\cdot3{,}0000\cdot3{,}0000\cdot(-8{,}3333)=-75{,}0000\quad(\text{aprox.}).Lembrete: como houve s=1 troca de linhas durante a eliminação, \det(A)=(-1)^{s}\prod_{i}u_{ii}=(-1)^{1}(-75{,}0000)=75{,}0000.
    Observação: usando as frações exatas, o último pivô foi -25/3 e o produto exato dá \det(A)=75. Arredondado a 4 casas: \det(A)=75{,}0000.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1{,}2000\\[2pt]2{,}1200\\[2pt]1{,}5000\\[2pt]0{,}2000\end{pmatrix}
Sistema compatível determinado (única solução).
\det(A)=75{,}0000]

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