Resolva os sistemas lineares abaixo através dos MÉTODOS ITERATIVOS DE JACOBI E DE GAUSS-SEIDEL, CONSIDERANDO NO MÁXIMO 10 ITERAÇÕES.
X^{0}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top} e \varepsilon<10^{-2}
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\\ 2 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6 \\ x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=-1 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=-1 \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Sistema linear dado:
\begin{cases} 4x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=7,\\[4pt] 2x_{1}-8x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-5x_{3}+x_{4}=-1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}-4x_{4}=-1. \end{cases}
  • Vetor inicial: \,X^{0}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{\top}.
  • Critério de parada: tolerância \varepsilon<10^{-2} (vou usar \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<10^{-2} como critério prático).
  • Limite máximo: 10 iterações por método.
  • O que pedem: aproximar a solução pelo método iterativo de Jacobi e pelo de Gauss–Seidel (cada um com, no máximo, 10 iterações ou até atingir a tolerância).]

Passo 2

Explicando e montando as fórmulas do método de Jacobi (a ideia e como organizar as contas).
  • Ideia do método de Jacobi: isolar cada variável na sua equação e calcular cada x_i^{k+1} usando somente os valores da iteração anterior X^{k}. Assim, todas as componentes de X^{k+1} são calculadas a partir de X^{k}.
  • Para isolar, reescreve-se cada equação na forma
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j\Bigr).
Aplicando isso ao sistema dado obtemos as fórmulas (todas as expressões matemáticas abaixo estão em termos dos valores da iteração anterior, X^{k}):
\begin{aligned} x_{1}^{k+1} &= \frac{1}{4}\bigl(7 - 2x_{2}^{k} - x_{3}^{k} - x_{4}^{k}\bigr),\\[4pt] x_{2}^{k+1} &= \frac{1}{-8}\bigl(-6 - 2x_{1}^{k} - x_{3}^{k} + x_{4}^{k}\bigr) = \frac{6 + 2x_{1}^{k} + x_{3}^{k} - x_{4}^{k}}{8},\\[4pt] x_{3}^{k+1} &= \frac{1}{-5}\bigl(-1 - x_{1}^{k} - 2x_{2}^{k} - x_{4}^{k}\bigr) = \frac{1 + x_{1}^{k} + 2x_{2}^{k} + x_{4}^{k}}{5},\\[4pt] x_{4}^{k+1} &= \frac{1}{-4}\bigl(-1 - x_{1}^{k} - x_{2}^{k} - x_{3}^{k}\bigr) = \frac{1 + x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + x_{3}^{k}}{4}. \end{aligned}
  • Critério de parada usado: computa-se \Delta^{k}=\|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{k+1}-x_i^{k}|. Se \Delta^{k}<10^{-2}, consideramos convergido.
Vou executar iterações de Jacobi a partir de X^{0}=\mathbf{0} até \Delta^{k}<10^{-2} ou até 10 iterações.]

Passo 3

Iterações do método de Jacobi (cada linha mostra os cálculos usados; arredondei valores numéricos a vários dígitos quando necessário, mantendo precisão suficiente para o critério \varepsilon).
Iteração 1 (usando X^{0}=(0,0,0,0)^{\top}):
\begin{aligned} x_{1}^{1} &= \tfrac{1}{4}(7-0-0-0)=\tfrac{7}{4}=1{,}750000,\\[4pt] x_{2}^{1} &= \tfrac{6+2\cdot0+0-0}{8}=\tfrac{6}{8}=0{,}750000,\\[4pt] x_{3}^{1} &= \tfrac{1+0+2\cdot0+0}{5}=\tfrac{1}{5}=0{,}200000,\\[4pt] x_{4}^{1} &= \tfrac{1+0+0+0}{4}=\tfrac{1}{4}=0{,}250000. \end{aligned}
Portanto X^{1}=(1{,}75,\;0{,}75,\;0{,}2,\;0{,}25)^{\top}. \Delta^{0}=1{,}75.
Iteração 2:
\begin{aligned} x_{1}^{2} &= \tfrac{1}{4}\bigl(7-2(0{,}75)-0{,}2-0{,}25\bigr)=\tfrac{5{,}05}{4}=1{,}2625,\\[4pt] x_{2}^{2} &= \tfrac{6+2(1{,}75)+0{,}2-0{,}25}{8}=\tfrac{9{,}45}{8}=1{,}18125,\\[4pt] x_{3}^{2} &= \tfrac{1+1{,}75+2(0{,}75)+0{,}25}{5}=\tfrac{4{,}5}{5}=0{,}90000,\\[4pt] x_{4}^{2} &= \tfrac{1+1{,}75+0{,}75+0{,}2}{4}=\tfrac{3{,}7}{4}=0{,}92500. \end{aligned}
X^{2}=(1{,}2625,\;1{,}18125,\;0{,}9,\;0{,}925)^{\top}. \Delta^{1}=0{,}7.
Iteração 3:
\begin{aligned} x_{1}^{3} &= \tfrac{1}{4}\bigl(7-2(1{,}18125)-0{,}9-0{,}925\bigr)=0{,}703125,\\[4pt] x_{2}^{3} &= \tfrac{6+2(1{,}2625)+0{,}9-0{,}925}{8}=1{,}0625,\\[4pt] x_{3}^{3} &= \tfrac{1+1{,}2625+2(1{,}18125)+0{,}925}{5}=1{,}11,\\[4pt] x_{4}^{3} &= \tfrac{1+1{,}2625+1{,}18125+0{,}9}{4}=1{,}0859375. \end{aligned}
X^{3}=(0{,}703125,\;1{,}0625,\;1{,}11,\;1{,}0859375)^{\top}. \Delta^{2}\approx0{,}559375.
Iteração 4:
\begin{aligned} x_{1}^{4} &=0{,}669765625,\\[4pt] x_{2}^{4} &=0{,}9287890625,\\[4pt] x_{3}^{4} &=0{,}9828125,\\[4pt] x_{4}^{4} &=0{,}96890625. \end{aligned}
X^{4}\approx(0{,}6697656,\;0{,}9287891,\;0{,}9828125,\;0{,}9689063)^{\top}. \Delta^{3}\approx0{,}13371.
Iteração 5:
\begin{aligned} x_{1}^{5} &=0{,}79767578125,\\[4pt] x_{2}^{5} &=0{,}9191796875,\\[4pt] x_{3}^{5} &=0{,}89925,\\[4pt] x_{4}^{5} &=0{,}895341796875. \end{aligned}
X^{5}\approx(0{,}7976758,\;0{,}9191797,\;0{,}89925,\;0{,}8953418)^{\top}. \Delta^{4}\approx0{,}12791.
Iteração 6:
\begin{aligned} x_{1}^{6} &=0{,}84176220703125,\\[4pt] x_{2}^{6} &=0{,}949907470703125,\\[4pt] x_{3}^{6} &=0{,}906275390625,\\[4pt] x_{4}^{6} &=0{,}9040263671875. \end{aligned}
X^{6}\approx(0{,}8417622,\;0{,}9499075,\;0{,}9062754,\;0{,}9040264)^{\top}. \Delta^{5}\approx0{,}04409.
Iteração 7:
\begin{aligned} x_{1}^{7} &=0{,}8224708251953125,\\[4pt] x_{2}^{7} &=0{,}9607216796875,\\[4pt] x_{3}^{7} &=0{,}929120703125,\\[4pt] x_{4}^{7} &=0{,}9244862670898438. \end{aligned}
X^{7}\approx(0{,}8224708,\;0{,}9607217,\;0{,}9291207,\;0{,}9244863)^{\top}. \Delta^{6}\approx0{,}0228453.
Iteração 8:
\begin{aligned} x_{1}^{8} &=0{,}8062374176025391,\\[4pt] x_{2}^{8} &=0{,}9561970108032227,\\[4pt] x_{3}^{8} &=0{,}9336800903320312,\\[4pt] x_{4}^{8} &=0{,}9280783020019531. \end{aligned}
X^{8}\approx(0{,}8062374,\;0{,}9561970,\;0{,}9336801,\;0{,}9280783)^{\top}. \Delta^{7}\approx0{,}0162334.
Iteração 9:
\begin{aligned} x_{1}^{9} &=0{,}8064618965148926,\\[4pt] x_{2}^{9} &=0{,}9522595779418945,\\[4pt] x_{3}^{9} &=0{,}9293419482421875,\\[4pt] x_{4}^{9} &=0{,}9240286296844482. \end{aligned}
X^{9}\approx(0{,}8064619,\;0{,}9522596,\;0{,}9293420,\;0{,}9240286)^{\top}. Aqui \Delta^{8}=\|X^{9}-X^{8}\|_{\infty}\approx0{,}00434<10^{-2}.
Conclusão para Jacobi: a iteração 9 atingiu a tolerância desejada (critério satisfeito). Parei em 9 iterações (menor que o máximo 10). Resultado aproximado final (Jacobi): X^{9} mostrado acima.]

Passo 4

Explicando e montando as fórmulas do método de Gauss–Seidel (ideia e como aplicar).
  • Ideia do Gauss–Seidel: também se isola cada x_i como antes, mas ao calcular x_i^{k+1} dentro de uma iteração usa-se imediatamente os valores já atualizados x_1^{k+1},x_2^{k+1},\dots disponíveis. Isso costuma acelerar a convergência.
  • As fórmulas escritas de forma explícita (a atualização é feita em ordem 1,2,3,4 usando os valores mais recentes):
\begin{aligned} x_{1}^{k+1} &= \tfrac{1}{4}\bigl(7 - 2x_{2}^{k} - x_{3}^{k} - x_{4}^{k}\bigr),\\[4pt] x_{2}^{k+1} &= \tfrac{6 + 2x_{1}^{k+1} + x_{3}^{k} - x_{4}^{k}}{8},\\[4pt] x_{3}^{k+1} &= \tfrac{1 + x_{1}^{k+1} + 2x_{2}^{k+1} + x_{4}^{k}}{5},\\[4pt] x_{4}^{k+1} &= \tfrac{1 + x_{1}^{k+1} + x_{2}^{k+1} + x_{3}^{k+1}}{4}. \end{aligned}
  • Critério de parada: novamente uso \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<10^{-2}.]

Passo 5

Iterações do método de Gauss–Seidel (novamente, cálculos mostrados explicitamente). Começo em X^{0}=\mathbf{0}.
Iteração 1 (usando X^{0}):
\begin{aligned} x_{1}^{1} &=\tfrac{1}{4}(7-0-0-0)=1{,}75,\\[4pt] x_{2}^{1} &=\tfrac{6+2(1{,}75)+0-0}{8}=\tfrac{9{,}5}{8}=1{,}1875,\\[4pt] x_{3}^{1} &=\tfrac{1+1{,}75+2(1{,}1875)+0}{5}=\tfrac{5{,}125}{5}=1{,}025,\\[4pt] x_{4}^{1} &=\tfrac{1+1{,}75+1{,}1875+1{,}025}{4}=\tfrac{4{,}9625}{4}=1{,}240625. \end{aligned}
X^{1}=(1{,}75,\;1{,}1875,\;1{,}025,\;1{,}240625)^{\top}.
Iteração 2:
\begin{aligned} x_{1}^{2} &=\tfrac{1}{4}\bigl(7-2(1{,}1875)-1{,}025-1{,}240625\bigr)=0{,}58984375,\\[4pt] x_{2}^{2} &=\tfrac{6+2(0{,}58984375)+1{,}025-1{,}240625}{8}=0{,}8705078125,\\[4pt] x_{3}^{2} &=\tfrac{1+0{,}58984375+2(0{,}8705078125)+1{,}240625}{5}=0{,}914296875,\\[4pt] x_{4}^{2} &=\tfrac{1+0{,}58984375+0{,}8705078125+0{,}914296875}{4}=0{,}843662109375. \end{aligned}
X^{2}\approx(0{,}5898438,\;0{,}8705078,\;0{,}9142969,\;0{,}8436621)^{\top}.
Iteração 3:
\begin{aligned} x_{1}^{3} &=0{,}87525634765625,\\[4pt] x_{2}^{3} &=0{,}9776434326171875,\\[4pt] x_{3}^{3} &=0{,}934841064453125,\\[4pt] x_{4}^{3} &=0{,}9469352111816406. \end{aligned}
X^{3}\approx(0{,}8752563,\;0{,}9776434,\;0{,}9348411,\;0{,}9469352)^{\top}.
Iteração 4:
\begin{aligned} x_{1}^{4} &=0{,}7907342147827148,\\[4pt] x_{2}^{4} &=0{,}9461717853546143,\\[4pt] x_{3}^{4} &=0{,}9260025993347168,\\[4pt] x_{4}^{4} &=0{,}9157271498680115. \end{aligned}
X^{4}\approx(0{,}7907342,\;0{,}9461718,\;0{,}9260026,\;0{,}9157271)^{\top}.
Iteração 5:
\begin{aligned} x_{1}^{5} &=0{,}8164816700220108,\\[4pt] x_{2}^{5} &=0{,}9554048486888408,\\[4pt] x_{3}^{5} &=0{,}9286037034535408,\\[4pt] x_{4}^{5} &=0{,}9251225555410981. \end{aligned}
X^{5}\approx(0{,}8164817,\;0{,}9554048,\;0{,}9286037,\;0{,}9251226)^{\top}.
Iteração 6:
\begin{aligned} x_{1}^{6} &=0{,}8088660109069199,\\[4pt] x_{2}^{6} &=0{,}9526516462157852,\\[4pt] x_{3}^{6} &=0{,}9278583717759176,\\[4pt] x_{4}^{6} &=0{,}9223440072246556. \end{aligned}
X^{6}\approx(0{,}8088660,\;0{,}9526516,\;0{,}9278584,\;0{,}9223440)^{\top}.
Agora \Delta^{5}=\|X^{6}-X^{5}\|_{\infty}\approx0{,}00762<10^{-2}. Portanto o método de Gauss–Seidel atingiu a tolerância na iteração 6 (antes do limite de 10 iterações).]

Resposta

Jacobi (parada em 9 iterações): X\approx\begin{bmatrix}0{,}8064619\\[2pt]0{,}9522596\\[2pt]0{,}9293420\\[2pt]0{,}9240286\end{bmatrix}
Gauss–Seidel (parada em 6 iterações): X\approx\begin{bmatrix}0{,}8088660\\[2pt]0{,}9526516\\[2pt]0{,}9278584\\[2pt]0{,}9223440\end{bmatrix}]

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