Resolva os sistemas lineares abaixo através dos MÉTODOS ITERATIVOS DE JACOBI E DE GAUSS-SEIDEL, CONSIDERANDO NO MÁXIMO 10 ITERAÇÕES. X^{0}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top} e \varepsilon<10^{-2}
Critério de parada: tolerância \varepsilon<10^{-2} (vou usar \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<10^{-2} como critério prático).
Limite máximo: 10 iterações por método.
O que pedem: aproximar a solução pelo método iterativo de Jacobi e pelo de Gauss–Seidel (cada um com, no máximo, 10 iterações ou até atingir a tolerância).]
Passo 2
Explicando e montando as fórmulas do método de Jacobi (a ideia e como organizar as contas).
Ideia do método de Jacobi: isolar cada variável na sua equação e calcular cada x_i^{k+1} usando somente os valores da iteração anterior X^{k}. Assim, todas as componentes de X^{k+1} são calculadas a partir de X^{k}.
Critério de parada usado: computa-se \Delta^{k}=\|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{k+1}-x_i^{k}|. Se \Delta^{k}<10^{-2}, consideramos convergido.
Vou executar iterações de Jacobi a partir de X^{0}=\mathbf{0} até \Delta^{k}<10^{-2} ou até 10 iterações.]
Passo 3
Iterações do método de Jacobi (cada linha mostra os cálculos usados; arredondei valores numéricos a vários dígitos quando necessário, mantendo precisão suficiente para o critério \varepsilon).
Conclusão para Jacobi: a iteração 9 atingiu a tolerância desejada (critério satisfeito). Parei em 9 iterações (menor que o máximo 10). Resultado aproximado final (Jacobi): X^{9} mostrado acima.]
Passo 4
Explicando e montando as fórmulas do método de Gauss–Seidel (ideia e como aplicar).
Ideia do Gauss–Seidel: também se isola cada x_i como antes, mas ao calcular x_i^{k+1} dentro de uma iteração usa-se imediatamente os valores já atualizados x_1^{k+1},x_2^{k+1},\dots disponíveis. Isso costuma acelerar a convergência.
As fórmulas escritas de forma explícita (a atualização é feita em ordem 1,2,3,4 usando os valores mais recentes):
Agora \Delta^{5}=\|X^{6}-X^{5}\|_{\infty}\approx0{,}00762<10^{-2}. Portanto o método de Gauss–Seidel atingiu a tolerância na iteração 6 (antes do limite de 10 iterações).]
Resposta
Jacobi (parada em 9 iterações): X\approx\begin{bmatrix}0{,}8064619\\[2pt]0{,}9522596\\[2pt]0{,}9293420\\[2pt]0{,}9240286\end{bmatrix}
Gauss–Seidel (parada em 6 iterações): X\approx\begin{bmatrix}0{,}8088660\\[2pt]0{,}9526516\\[2pt]0{,}9278584\\[2pt]0{,}9223440\end{bmatrix}]