O pedido é: resolver esse sistema pelo método iterativo, com critério de parada \varepsilon\le 10^{-5}. Todas as informações relevantes estão no próprio sistema e no valor de \varepsilon.]
Passo 2
Escolho explicar e tentar aplicar o método de Gauss–Seidel (um método iterativo clássico). Antes de iterar, preciso escrever as fórmulas de iteração (isolando cada incógnita em sua equação):
Isolando \,x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4 obtemos as fórmulas de iteração (forma de ponto fixo):
Explico por que escolhi Gauss–Seidel: é um método iterativo simples, usa atualizações imediatas (melhora a convergência quando o método converge) e costuma ser primeira escolha em exercícios de método iterativo. Mas há uma etapa obrigatória antes de iterar: checar se a convergência é garantida.
Passo 3
Critério prático de convergência (garantia suficiente): matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas. Isso significa, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso for verdadeiro para todas as linhas, Jacobi e Gauss–Seidel convergem. Vou verificar linha a linha (uso os coeficientes do sistema original):
Conclusão deste passo: a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto não temos garantia de convergência para Jacobi nem para Gauss–Seidel. Isso não prova que o método diverge (a convergência pode ocorrer mesmo sem dominância), mas exige cautela: devemos testar iterações e observar o comportamento.
Passo 4
Vamos fazer uma tentativa prática (iteração numérica) para ver o comportamento. Tomo a aproximação inicial usual
x^{(0)}=(0,0,0,0).
Faço a primeira iteração completa de Gauss–Seidel (uso sempre os valores mais recentes assim que disponíveis).
Faço a segunda iteração (apenas mostrar a primeira atualização já indica o comportamento): para obter x_1^{(2)} uso os valores x_2^{(1)},x_3^{(1)},x_4^{(1)}:
ou seja, x_1 salta para um valor grande e negativo. Esse grande salto já indica comportamento instável/ divergente da sequência de iterações.
Se tentar continuar, as próximas componentes também tomam valores muito grandes (os termos se multiplicam entre si nas fórmulas e as magnitudes explodem). Portanto a iteração não está se aproximando de uma solução estável — ela tende a explodir numericamnte.
Passo 6
Interpretação e conclusão metodológica:
Como vimos, a matriz não é diagonalmente dominante por linhas; isso remove a garantia de convergência de Jacobi/Gauss–Seidel.
A tentativa prática mostrou comportamento explosivo já na segunda iteração: as componentes passaram a ter magnitudes muito grandes e as atualizações não reduzem a diferença entre iterações.
Além disso, verificar permutações simples de variáveis não recupera dominância (os somatórios nas linhas são maiores que qualquer coeficiente diagonal naquela linha), então reordenar as equações/variáveis não resolve a falta de dominância.
Portanto: o “método iterativo” usual (Jacobi ou Gauss–Seidel sem pré-condicionamento) não converge para este sistema — não é possível atingir o critério \varepsilon\le 10^{-5} usando essas iterações diretas. Para obter a solução numérica deste sistema é necessário usar outro procedimento (por exemplo eliminação de Gauss com pivoteamento, decomposição LU com pivoteamento, métodos iterativos mais avançados com pré-condicionamento ou métodos diretos).
Resposta
O método iterativo direto (Jacobi / Gauss–Seidel) NÃO converge para este sistema (a matriz não é diagonalmente dominante e as iterações mostram comportamento divergente), portanto não é possível obter uma solução com \varepsilon\le 10^{-5} por esse método sem pré-condicionamento ou outra modificação.