Resolva os Sistemas Lineares abaixo, pelo Método Iterativo.
\left\{\begin{array}{c}0,7236 x_{1}+1,0459 x_{2}+2,3045 x_{3}+3,1234 x_{4}=6,4 \\\\ 4,5123 x_{1}-5,6789 x_{2}+6,5432 x_{3}-7,1516 x_{4}=-9,7 \\\\ 5,2413 x_{1}-4,0124 x_{2}-3,5678 x_{3}+2,4567 x_{4}=-10,8 \\\\ 2,0369 x_{1}-8,0456 x_{2}-3,2012 x_{3}+2,5678 x_{4}=-16,35\end{array}\right.; com)\varepsilon \leq 10^{-5}$

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} 0{,}7236\,x_{1}+1{,}0459\,x_{2}+2{,}3045\,x_{3}+3{,}1234\,x_{4}=6{,}4\\[4pt] 4{,}5123\,x_{1}-5{,}6789\,x_{2}+6{,}5432\,x_{3}-7{,}1516\,x_{4}=-9{,}7\\[4pt] 5{,}2413\,x_{1}-4{,}0124\,x_{2}-3{,}5678\,x_{3}+2{,}4567\,x_{4}=-10{,}8\\[4pt] 2{,}0369\,x_{1}-8{,}0456\,x_{2}-3{,}2012\,x_{3}+2{,}5678\,x_{4}=-16{,}35 \end{cases}
O pedido é: resolver esse sistema pelo método iterativo, com critério de parada \varepsilon\le 10^{-5}. Todas as informações relevantes estão no próprio sistema e no valor de \varepsilon.]

Passo 2

Escolho explicar e tentar aplicar o método de Gauss–Seidel (um método iterativo clássico). Antes de iterar, preciso escrever as fórmulas de iteração (isolando cada incógnita em sua equação):
Isolando \,x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4 obtemos as fórmulas de iteração (forma de ponto fixo):
x_{1}=\frac{6{,}4-1{,}0459\,x_{2}-2{,}3045\,x_{3}-3{,}1234\,x_{4}}{0{,}7236},
x_{2}=\frac{9{,}7+4{,}5123\,x_{1}+6{,}5432\,x_{3}-7{,}1516\,x_{4}}{5{,}6789},
x_{3}=\frac{10{,}8+5{,}2413\,x_{1}-4{,}0124\,x_{2}+2{,}4567\,x_{4}}{3{,}5678},
x_{4}=\frac{-16{,}35-2{,}0369\,x_{1}+8{,}0456\,x_{2}+3{,}2012\,x_{3}}{2{,}5678}.
Explico por que escolhi Gauss–Seidel: é um método iterativo simples, usa atualizações imediatas (melhora a convergência quando o método converge) e costuma ser primeira escolha em exercícios de método iterativo. Mas há uma etapa obrigatória antes de iterar: checar se a convergência é garantida.

Passo 3

Critério prático de convergência (garantia suficiente): matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas. Isso significa, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso for verdadeiro para todas as linhas, Jacobi e Gauss–Seidel convergem. Vou verificar linha a linha (uso os coeficientes do sistema original):
Linha 1:
|a_{11}|=|0{,}7236|,\qquad \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|1{,}0459|+|2{,}3045|+|3{,}1234|=6{,}4738,
logo |0{,}7236|<6{,}4738 (falha).
Linha 2:
|a_{22}|=|{-}5{,}6789|=5{,}6789,\qquad \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=4{,}5123+6{,}5432+7{,}1516=18{,}2071,
logo 5{,}6789<18{,}2071 (falha).
Linha 3:
|a_{33}|=|{-}3{,}5678|=3{,}5678,\qquad \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=5{,}2413+4{,}0124+2{,}4567=11{,}7104,
logo 3{,}5678<11{,}7104 (falha).
Linha 4:
|a_{44}|=|2{,}5678|,\qquad \sum_{j\neq4}|a_{4j}|=2{,}0369+8{,}0456+3{,}2012=13{,}2837,
logo 2{,}5678<13{,}2837 (falha).
Conclusão deste passo: a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto não temos garantia de convergência para Jacobi nem para Gauss–Seidel. Isso não prova que o método diverge (a convergência pode ocorrer mesmo sem dominância), mas exige cautela: devemos testar iterações e observar o comportamento.

Passo 4

Vamos fazer uma tentativa prática (iteração numérica) para ver o comportamento. Tomo a aproximação inicial usual
x^{(0)}=(0,0,0,0).
Faço a primeira iteração completa de Gauss–Seidel (uso sempre os valores mais recentes assim que disponíveis).
Usando as fórmulas do Passo 2 com x^{(0)}=0:
x_1^{(1)}=\frac{6{,}4}{0{,}7236}\approx 8{,}8446649,
x_2^{(1)}=\frac{9{,}7+4{,}5123\,x_1^{(1)}}{5{,}6789}\approx 8{,}7357040,
x_3^{(1)}=\frac{10{,}8+5{,}2413\,x_1^{(1)}-4{,}0124\,x_2^{(1)}}{3{,}5678}\approx 6{,}196240,
x_4^{(1)}=\frac{-16{,}35-2{,}0369\,x_1^{(1)}+8{,}0456\,x_2^{(1)}+3{,}2012\,x_3^{(1)}}{2{,}5678}\approx 21{,}71265.
Portanto a primeira iteração produz
x^{(1)}\approx(8{,}844665,\;8{,}735704,\;6{,}196240,\;21{,}71265).

Passo 5

Faço a segunda iteração (apenas mostrar a primeira atualização já indica o comportamento): para obter x_1^{(2)} uso os valores x_2^{(1)},x_3^{(1)},x_4^{(1)}:
x_1^{(2)}=\frac{6{,}4-1{,}0459\,x_2^{(1)}-2{,}3045\,x_3^{(1)}-3{,}1234\,x_4^{(1)}}{0{,}7236}.
Calculando o numerador com os valores anteriores dá aproximadamente
\text{numerador}\approx 6{,}4 - 1{,}0459(8{,}735704)-2{,}3045(6{,}196240)-3{,}1234(21{,}71265)\approx -84{,}833059.
Logo
x_1^{(2)}\approx\frac{-84{,}833059}{0{,}7236}\approx -117{,}286\\ (\text{aprox.}),
ou seja, x_1 salta para um valor grande e negativo. Esse grande salto já indica comportamento instável/ divergente da sequência de iterações.
Se tentar continuar, as próximas componentes também tomam valores muito grandes (os termos se multiplicam entre si nas fórmulas e as magnitudes explodem). Portanto a iteração não está se aproximando de uma solução estável — ela tende a explodir numericamnte.

Passo 6

Interpretação e conclusão metodológica:
  • Como vimos, a matriz não é diagonalmente dominante por linhas; isso remove a garantia de convergência de Jacobi/Gauss–Seidel.
  • A tentativa prática mostrou comportamento explosivo já na segunda iteração: as componentes passaram a ter magnitudes muito grandes e as atualizações não reduzem a diferença entre iterações.
  • Além disso, verificar permutações simples de variáveis não recupera dominância (os somatórios nas linhas são maiores que qualquer coeficiente diagonal naquela linha), então reordenar as equações/variáveis não resolve a falta de dominância.
Portanto: o “método iterativo” usual (Jacobi ou Gauss–Seidel sem pré-condicionamento) não converge para este sistema — não é possível atingir o critério \varepsilon\le 10^{-5} usando essas iterações diretas. Para obter a solução numérica deste sistema é necessário usar outro procedimento (por exemplo eliminação de Gauss com pivoteamento, decomposição LU com pivoteamento, métodos iterativos mais avançados com pré-condicionamento ou métodos diretos).

Resposta

O método iterativo direto (Jacobi / Gauss–Seidel) NÃO converge para este sistema (a matriz não é diagonalmente dominante e as iterações mostram comportamento divergente), portanto não é possível obter uma solução com \varepsilon\le 10^{-5} por esse método sem pré-condicionamento ou outra modificação.

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