Métodos Numéricos-curso de Engenharia(Runge-Kutta de 4^{\underline{\mathrm{a}}} ordem) \ [3,0 pontos]
A disciplina de Métodos Numéricos de um curso de Engenharia, no ano letivo de 2002/2003, possui 92 alunos inscritos. Inicialmente, um grupo de 10 alunos resolveu lançar o boato de que o exame iria ser cancelado.
Em média, cada estudante conversa com outros colegas a uma taxa de 2 estudantes por hora, podendo estes já saberem ou não da novidade. Seja y(t) o número de estudantes que sabem do boato no instante de tempo t (em horas). O modelo que descreve a taxa de propagação da informação é dado por:
\frac{d y}{d t}=2 y\left(\frac{92-y}{92}\right), \quad y(0)=10
(a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Escreva a equação diferencial de forma explícita, identificando f(t, y) para aplicação numérica.
(b) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Monte as fórmulas do método de Runge-Kutta de 4^{\mathrm{a}} ordem (RK4) para este problema, considerando passo h=1.
(c) (1,5 \mathrm{pt}) Calcule manualmente as aproximações y(1), y(2) e y(3) utilizando o método de RK4. Apresente os valores intermediários ( k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4} ) de cada passo.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo logístico para a propagação de um boato em uma turma de 92 alunos. A variável y(t) é o número de alunos que já sabem do boato no instante t, e o problema pede que a equação diferencial seja tratada numericamente pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo h=1, para obter y(1), y(2) e y(3).

Passo 2

Escrevendo a EDO de maneira explícita, temos
\frac{dy}{dt}=2\,y\Bigl(\frac{92-y}{92}\Bigr),
de modo que podemos definir
f(t,y)=2\,y\Bigl(\frac{92-y}{92}\Bigr),
com condição inicial y(0)=10.

Passo 3

As fórmulas do método RK4 com passo h=1 são, para cada n:
\begin{aligned} k_{1}&=f\bigl(t_{n},y_{n}\bigr),\\\ k_{2}&=f\bigl(t_{n}+\tfrac{1}{2},\,y_{n}+\tfrac{1}{2}k_{1}\bigr),\\\ k_{3}&=f\bigl(t_{n}+\tfrac{1}{2},\,y_{n}+\tfrac{1}{2}k_{2}\bigr),\\\ k_{4}&=f\bigl(t_{n}+1,\,y_{n}+k_{3}\bigr),\\\ y_{n+1}&=y_{n}+\frac{1}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr). \end{aligned}

Passo 4

Cálculo de y(1) a partir de y_{0}=10:
\begin{aligned} k_{1}&=2\cdot10\cdot\frac{92-10}{92}=17,8261,\\\ k_{2}&=2\cdot(10+0,5\,k_{1})\;\frac{92-(10+0,5\,k_{1})}{92} =30,0488,\\\ k_{3}&=2\cdot\bigl(10+0,5\,k_{2}\bigr)\;\frac{92-\bigl(10+0,5\,k_{2}\bigr)}{92} =36,4351,\\\ k_{4}&=2\cdot\bigl(10+k_{3}\bigr)\;\frac{92-\bigl(10+k_{3}\bigr)}{92} =45,9939,\\\ y_{1}&=10+\tfrac{1}{6}\bigl(17,8261+2\cdot30,0488+2\cdot36,4351+45,9939\bigr) \approx 42,80. \end{aligned}

Passo 5

Cálculo de y(2) a partir de y_{1}\approx 42,80:
\begin{aligned} k_{1}&=2\cdot42,80\;\frac{92-42,80}{92}=45,7750,\\\ k_{2}&=2\cdot\bigl(42,80+0,5\,k_{1}\bigr)\;\frac{92-\bigl(42,80+0,5\,k_{1}\bigr)}{92} =37,5878,\\\ k_{3}&=2\cdot\bigl(42,80+0,5\,k_{2}\bigr)\;\frac{92-\bigl(42,80+0,5\,k_{2}\bigr)}{92} =40,7227,\\\ k_{4}&=2\cdot\bigl(42,80+k_{3}\bigr)\;\frac{92-\bigl(42,80+k_{3}\bigr)}{92} =15,3944,\\\ y_{2}&=42,80+\tfrac{1}{6}\bigl(45,7750+2\cdot37,5878+2\cdot40,7227+15,3944\bigr) \approx 79,10. \end{aligned}

Passo 6

Cálculo de y(3) a partir de y_{2}\approx 79,10:
\begin{aligned} k_{1}&=2\cdot79,10\;\frac{92-79,10}{92}=22,1894,\\\ k_{2}&=2\cdot\bigl(79,10+0,5\,k_{1}\bigr)\;\frac{92-\bigl(79,10+0,5\,k_{1}\bigr)}{92} =3,5499,\\\ k_{3}&=2\cdot\bigl(79,10+0,5\,k_{2}\bigr)\;\frac{92-\bigl(79,10+0,5\,k_{2}\bigr)}{92} =19,5707,\\\ k_{4}&=2\cdot\bigl(79,10+k_{3}\bigr)\;\frac{92-\bigl(79,10+k_{3}\bigr)}{92} =-14,2928,\\\ y_{3}&=79,10+\tfrac{1}{6}\bigl(22,1894+2\cdot3,5499+2\cdot19,5707-14,2928\bigr) \approx 88,12. \end{aligned}

Resposta

y(1)\approx 42,80
y(2)\approx 79,10
y(3)\approx 88,12

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