Métodos Numéricos-curso de Engenharia(Runge-Kutta de
ordem) \ [3,0 pontos]
A disciplina de Métodos Numéricos de um curso de Engenharia, no ano letivo de 2002/2003, possui 92 alunos inscritos. Inicialmente, um grupo de 10 alunos resolveu lançar o boato de que o exame iria ser cancelado.
Em média, cada estudante conversa com outros colegas a uma taxa de 2 estudantes por hora, podendo estes já saberem ou não da novidade. Seja
o número de estudantes que sabem do boato no instante de tempo
(em horas). O modelo que descreve a taxa de propagação da informação é dado por:
(a) (
) Escreva a equação diferencial de forma explícita, identificando
para aplicação numérica.
(b) (
) Monte as fórmulas do método de Runge-Kutta de
ordem (RK4) para este problema, considerando passo
.
(c)
Calcule manualmente as aproximações
e
utilizando o método de RK4. Apresente os valores intermediários (
) de cada passo.
(b) (
(c)
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo logístico para a propagação de um boato em uma turma de 92 alunos. A variável
é o número de alunos que já sabem do boato no instante
, e o problema pede que a equação diferencial seja tratada numericamente pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo
, para obter
,
e
.
Passo 2
Escrevendo a EDO de maneira explícita, temos
de modo que podemos definir
com condição inicial
.
Passo 3
As fórmulas do método RK4 com passo
são, para cada
:
Passo 4
Cálculo de
a partir de
:
Passo 5
Cálculo de
a partir de
:
Passo 6
Cálculo de
a partir de
: