Sejam A e B matrizes n times n. Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
Se A^3=A^-1, então det(A)= pm 1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada AinR^ntimes n (pois fala em det(A) real) que satisfaz
A^3=A^-1
O conteúdo necessário é o uso das propriedades de determinante:
  1. A invertível impliesdet(A)neq0.
  2. det(A^k)=(det A)^k.
  3. det(A^-1)=(det A)^-1.

Passo 2

Como A^3=A^-1, concluímos que A é invertível e, portanto, det(A)neq0.
Aplicamos determinante em ambos os lados de A^3=A^-1. Usando as propriedades acima:
det(A^3) = detl(A^-1r) Longrightarrow l(det Ar)^3 = l(det Ar)^-1

Passo 3

Seja d=det A. A igualdade do passo anterior vira
d^3 = 1d Longrightarrow d^4=1
As raízes de d^4=1 são d=pm1 ou d=pm i. Como estamos em R^ntimes n, obrigatoriamente dinR, restando
d=pm1

Passo 4

Portanto det(A)=pm1 e a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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