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Questão: Calcule
por dois métodos: (a) expandindo
e multiplicando o resultado por x ; (b) tomando
. (c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
por dois métodos:
a) expandindo e integrando termo a termo;
b) usando substituição .
O conteúdo é cálculo de antiderivadas de polinômios e mudança de variável.
a) expandindo
b) usando substituição
O conteúdo é cálculo de antiderivadas de polinômios e mudança de variável.
Passo 2
Método (a): expandimos primeiro
então
Agora integramos termo a termo:
Somando e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 3
Método (b): fazemos a substituição
Logo a integral vira
Voltando a
,
Passo 4
Para entender a diferença, expandimos
Comparando com o método (a),
,
vemos que eles diferem apenas por uma constante . Como em integrais indefinidas a constante é arbitrária, ambas as formas representam a mesma família de primitivas.
vemos que eles diferem apenas por uma constante
Resposta
(a)
(b)
(c) As duas expressões diferem apenas por uma constante ( ), que é absorvida na constante de integração.
(b)
(c) As duas expressões diferem apenas por uma constante (