11 ^ a Questão: Calcule integral x(x^2+2)^2 d x por dois métodos: (a) expandindo (x^2+2)^2 e multiplicando o resultado por x ; (b) tomando u=(x^2+2). (c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xl(x^2+2r)^2,dx
por dois métodos:
a) expandindo l(x^2+2r)^2 e integrando termo a termo;
b) usando substituição u=(x^2+2).
O conteúdo é cálculo de antiderivadas de polinômios e mudança de variável.

Passo 2

Método (a): expandimos primeiro
l(x^2+2r)^2=x^4+4x^2+4,
então
xl(x^2+2r)^2=x^5+4x^3+4x
Agora integramos termo a termo:
integral x^5,dx=x^66, integral 4x^3,dx=4cdotx^44=x^4, integral 4x,dx=4cdotx^22=2x^2
Somando e incluindo a constante de integração C1, obtemos
integral xl(x^2+2r)^2,dx =x^66+x^4+2x^2+C1

Passo 3

Método (b): fazemos a substituição
u = x^2+2Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx=du2
Logo a integral vira
integral x,l(x^2+2r)^2,dx =integral u^2,du2 =12integral u^2,du =12cdotu^33+C2 =u^36+C2
Voltando a x,
integral xl(x^2+2r)^2,dx =l(x^2+2r)^36+C2

Passo 4

Para entender a diferença, expandimos
l(x^2+2r)^36 =x^6+6x^4+12x^2+86 =x^66+x^4+2x^2+43
Comparando com o método (a),
x^66+x^4+2x^2+C1,
vemos que eles diferem apenas por uma constante tfrac43. Como em integrais indefinidas a constante é arbitrária, ambas as formas representam a mesma família de primitivas.

Resposta

(a) x^66+x^4+2x^2+C
(b) l(x^2+2r)^36+C
(c) As duas expressões diferem apenas por uma constante ( tfrac43), que é absorvida na constante de integração.

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