Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
que é uma equação linear separável (ou pode ser vista como separável ao escrever
em função de
e
). Vamos separar variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro isolamos
:
Logo
Agora separamos as variáveis:
pois
.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo vem
. No direito,
Passo 4
Para calcular
fazemos
,
, então
Assim
Passo 5
Combinando as integrais:
Exponenciando,
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Podemos simplificar usando
. Então
Renomeando
, obtemos a solução geral.
Resposta
onde
é constante de integração.