Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
(e^x+1) d yd x=y-y e^x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
l(e^x+1r)dydx=y - y,e^x,
que é uma equação linear separável (ou pode ser vista como separável ao escrever tfracdydx em função de y e x). Vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro isolamos tfracdydx:
dydx =y,(1 - e^x)e^x+1 =-y;e^x-1e^x+1
Logo
1y,dydx =-e^x-1e^x+1
Agora separamos as variáveis:
dyy =l(-1+2e^x+1r),dx,
pois tfrace^x-1e^x+1=1 - tfrac2e^x+1.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy =integrall(-1+2e^x+1r),dx
No lado esquerdo vem ln|y|. No direito,
integral -1,dx = -x, integral 2e^x+1,dx =2integraldxe^x+1

Passo 4

Para calcular integraldxe^x+1 fazemos u=e^-x, du=-e^-xdx, então
integraldxe^x+1 =integrale^-x1+e^-x,dx =-integraldu1+u =-lnl(1+e^-xr)
Assim
integrall(-1+2e^x+1r),dx =-x -2lnl(1+e^-xr)+C

Passo 5

Combinando as integrais:
ln|y| = -x -2lnl(1+e^-xr) + C
Exponenciando,
y = C1,e^-x,(1+e^-x)^-2,
onde C1=e^C é constante arbitrária.

Passo 6

Podemos simplificar usando (1+e^-x)^-2=e^2x/(1+e^x)^2. Então
y = C1,e^-x,e^2x(1+e^x)^2 = C1,e^x(1+e^x)^2
Renomeando C=C1, obtemos a solução geral.

Resposta

y(x) = C,e^xl(1+e^xr)^2,
onde C é constante de integração.

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