Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+z=5 \\\ x+3 y+2 z=9 \\\\ 3 x-y+4 z=13\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear (peguei todas as equações do enunciado) e pede para resolvê‑lo pelo Método de Gauss‑Jordan:
\begin{cases} x+2y-z=2\\[4pt] 2x-y+z=5\\[4pt] x+3y+2z=9\\[4pt] 3x-y+4z=13 \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • São quatro equações e três incógnitas: x,y,z.
  • O objetivo é encontrar valores de x,y,z que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
  • O método solicitado (Gauss‑Jordan) trabalha com a matriz aumentada do sistema e aplica operações elementares de linha até obter a forma reduzida por linhas (RREF), da qual se lê a solução diretamente.]

Passo 2

Breve aula sobre o Método de Gauss‑Jordan (para eu conseguir aplicar passo a passo):
  • Representar o sistema pela matriz aumentada [A\mid b], onde A é a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos independentes.
  • Operações elementares permitidas nas linhas:
    1. trocar duas linhas ( R_i \leftrightarrow R_j);
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo ( k R_i);
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra ( R_i \leftarrow R_i + k R_j).
  • Objetivo do Gauss‑Jordan: transformar a matriz aumentada até obter a forma reduzida por linhas, isto é, obter na parte esquerda uma matriz diagonal com 1s (identidade, se possível) — então os valores das incógnitas aparecem na coluna aumentada.
  • Vantagem: ao terminar com pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna de cada pivô, lê‑se diretamente x, y, z.
    Vou aplicar essas operações mostrando cada conta para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora.

Passo 3

Montar a matriz aumentada inicial a partir das equações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 3 & 2 & 9\\[4pt] 3 & -1 & 4 & 13 \end{array}\right]
Cada linha corresponde à equação respectiva do sistema.]

Passo 4

Usar R_1 como pivô (primeira coluna) e eliminar abaixo dele:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
    • cálculo componente a componente:
      • primeira coluna: 2-2\cdot1=0,
      • segunda coluna: -1-2\cdot2=-1-4=-5,
      • terceira coluna: 1-2\cdot(-1)=1+2=3,
      • termo independente: 5-2\cdot2=5-4=1.
    • então R_2=[0\\\ -5\\\ 3\mid 1].
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
    • segunda coluna: 3-2=1,
    • terceira coluna: 2-(-1)=3,
    • termo independente: 9-2=7.
    • então R_3=[0\\\ 1\\\ 3\mid 7].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1:
    • segunda coluna: -1-3\cdot2=-1-6=-7,
    • terceira coluna: 4-3\cdot(-1)=4+3=7,
    • termo independente: 13-3\cdot2=13-6=7.
    • então R_4=[0\\\ -7\\\ 7\mid 7].
Matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 7\\[4pt] 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right]]

Passo 5

Para facilitar os cálculos, troco R_2 por R_3 (porque R_3 já tem 1 na segunda coluna, o que simplifica):
  • R_2 \leftrightarrow R_3.
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 7\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right]
Agora usar R_2 (com pivô 1 na coluna 2) para zerar as outras entradas da coluna 2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2:
    • terceira coluna: -1 - 2\cdot3 = -1 -6 = -7,
    • termo independente: 2 - 2\cdot7 = 2 -14 = -12.
    • então R_1=[1\\\ 0\\\ -7\mid -12].
  • R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2:
    • terceira coluna: 3 + 5\cdot3 = 3 +15 = 18,
    • termo independente: 1 + 5\cdot7 = 1 +35 =36.
    • então R_3=[0\\\ 0\\\ 18\mid 36].
  • R_4 \leftarrow R_4 + 7R_2:
    • terceira coluna: 7 + 7\cdot3 = 7 +21 = 28,
    • termo independente: 7 + 7\cdot7 = 7 +49 =56.
    • então R_4=[0\\\ 0\\\ 28\mid 56].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -7 & -12\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 18 & 36\\[4pt] 0 & 0 & 28 & 56 \end{array}\right]]

Passo 6

Trabalhar a terceira coluna. Temos em R_3 o valor 18 na coluna correspondente a z. Normalizar R_3 dividindo por 18 para obter pivô 1:
  • R_3 \leftarrow \dfrac{1}{18}R_3 R_3=[0\\\ 0\\\ 1\mid 2] porque 36/18=2.
Agora usar esse pivô para zerar as outras entradas na coluna de z:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 7R_3:
    • termo independente: -12 + 7\cdot2 = -12 +14 = 2,
    • terceira coluna ficará -7 + 7\cdot1 = 0.
    • então R_1=[1\\\ 0\\\ 0\mid 2].
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3:
    • termo independente: 7 - 3\cdot2 = 7 -6 =1,
    • terceira coluna: 3 - 3\cdot1 = 0.
    • então R_2=[0\\\ 1\\\ 0\mid 1].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 28R_3:
    • termo independente: 56 - 28\cdot2 = 56 -56 =0,
    • terceira coluna: 28 - 28\cdot1 = 0.
    • então R_4=[0\\\ 0\\\ 0\mid 0] (linha nula: equação redundante).
Matriz final na forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretação final (como ler a solução na forma reduzida):
  • Da primeira linha: x=2.
  • Da segunda linha: y=1.
  • Da terceira linha: z=2.
  • A quarta linha 0=0 é redundante e não cria inconsistência — significa que uma das equações iniciais era combinação linear das outras.
Resumo: o sistema é compatível e tem solução única para as incógnitas x,y,z dadas acima.

Resposta

x=2
y=1
z=2

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