O enunciado dá um sistema de cinco equações lineares com cinco incógnitas e pede para encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\,\). As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{4}+x_{5}=4,\\[4pt] - x_{1}+x_{2}+3x_{3}+2x_{4}-x_{5}=6,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}+2x_{5}=10,\\[4pt] 3x_{2}-x_{3}+4x_{4}+x_{5}=15,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=9. \end{cases}
Informações relevantes a listar:
São cinco equações lineares e cinco incógnitas.
Os coeficientes e termos independentes estão todos dados explicitamente nas equações acima.
Transformar o sistema em matriz aumentada: colocar os coeficientes das incógnitas nas colunas e o termo independente à direita. A matriz aumentada inicial [A\mid b] é
Breve explicação das ferramentas que usarei (sem dar detalhes técnicos demais): operações elementares sobre linhas — trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, adicionar múltiplos de uma linha a outra — servem para transformar a matriz até obter a solução. Em cada etapa eu explico o porquê da operação.]
Passo 3
Objetivo da primeira etapa: zerar todas as entradas da coluna \,x_{1}\, exceto o pivô na primeira linha. Escolho a primeira linha como pivô (já tem coeficiente 1 em \,x_{1}\,), e uso-a para eliminar \,x_{1}\, nas outras linhas.
Última coluna de incógnitas: pivot em \,x_{5}\,. A quinta linha tem -\tfrac{7}{55} em \,x_{5}\,; multiplico a linha por -\tfrac{55}{7} para obter pivô 1:
Para R_{1}: o termo independente fica \tfrac{213}{55}-\tfrac{56}{55}\cdot\tfrac{6}{7} = \tfrac{213}{55}-\tfrac{48}{55}=\tfrac{165}{55}=3. Logo R_{1}=[1,0,0,0,0\mid 3].
Para R_{2}: o termo independente fica \tfrac{82}{55}-\tfrac{4}{55}\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{82}{55}-\tfrac{24}{385}=\tfrac{10}{7}. Logo R_{2}=[0,1,0,0,0\mid \tfrac{10}{7}].
Para R_{3}: o termo independente fica \tfrac{49}{55}+\tfrac{7}{55}\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{49}{55}+\tfrac{6}{55}=1. Logo R_{3}=[0,0,1,0,0\mid 1].
Para R_{4}: o termo independente fica \tfrac{157}{55}-\tfrac{9}{55}\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{157}{55}-\tfrac{54}{385}=\tfrac{19}{7}. Logo R_{4}=[0,0,0,1,0\mid \tfrac{19}{7}].
A matriz está agora na forma reduzida com a identidade à esquerda e os termos independentes na coluna direita:
Interpretação final: a matriz reduzida nos dá diretamente os valores das incógnitas (cada linha corresponde a uma equação do tipo x_{i} = \text{constante}). Portanto: