Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}-x_{4}+x_{5} & =4 \\\\ -x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}-x_{5} & =6 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}+2 x_{5} & =10 \\\\ 3 x_{2}-x_{3}+4 x_{4}+x_{5} & =15 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} & =9\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de cinco equações lineares com cinco incógnitas e pede para encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\,\). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{4}+x_{5}=4,\\[4pt] - x_{1}+x_{2}+3x_{3}+2x_{4}-x_{5}=6,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}+2x_{5}=10,\\[4pt] 3x_{2}-x_{3}+4x_{4}+x_{5}=15,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=9. \end{cases}
Informações relevantes a listar:
  • São cinco equações lineares e cinco incógnitas.
  • Os coeficientes e termos independentes estão todos dados explicitamente nas equações acima.
  • Objetivo: determinar (,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},].]

Passo 2

Transformar o sistema em matriz aumentada: colocar os coeficientes das incógnitas nas colunas e o termo independente à direita. A matriz aumentada inicial [A\mid b] é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & \vline & 4\\[4pt] -1 & 1 & 3 & 2 & -1 & \vline & 6\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 & 2 & \vline & 10\\[4pt] 0 & 3 & -1 & 4 & 1 & \vline & 15\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \vline & 9 \end{pmatrix}.
Breve explicação das ferramentas que usarei (sem dar detalhes técnicos demais): operações elementares sobre linhas — trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, adicionar múltiplos de uma linha a outra — servem para transformar a matriz até obter a solução. Em cada etapa eu explico o porquê da operação.]

Passo 3

Objetivo da primeira etapa: zerar todas as entradas da coluna \,x_{1}\, exceto o pivô na primeira linha. Escolho a primeira linha como pivô (já tem coeficiente 1 em \,x_{1}\,), e uso-a para eliminar \,x_{1}\, nas outras linhas.
Operações aplicadas:
\begin{aligned} R_{2} &\leftarrow R_{2}+R_{1},\\[2pt] R_{3} &\leftarrow R_{3}-2R_{1},\\[2pt] R_{5} &\leftarrow R_{5}-R_{1}. \end{aligned}
Calculemos cada nova linha:
  • R_{2}+R_{1} = [-1+1,\;1+2,\;3+0,\;2+(-1),\;-1+1 \mid 6+4] = [0,\;3,\;3,\;1,\;0 \mid 10].
  • R_{3}-2R_{1} = [2-2,\;-1-4,\;1-0,\;1-2(-1),\;2-2 \mid 10-8] = [0,\;-5,\;1,\;3,\;0 \mid 2].
  • R_{5}-R_{1} = [1-1,\;1-2,\;1-0,\;1-(-1),\;1-1 \mid 9-4] = [0,\;-1,\;1,\;2,\;0 \mid 5].
Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & \vline & 4\\[4pt] 0 & 3 & 3 & 1 & 0 & \vline & 10\\[4pt] 0 & -5 & 1 & 3 & 0 & \vline & 2\\[4pt] 0 & 3 & -1 & 4 & 1 & \vline & 15\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 2 & 0 & \vline & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora pivot na coluna \,x_{2}\, (segunda coluna). A segunda linha tem coeficiente 3 em \,x_{2}\,; converto esse número em 1 dividindo a linha por 3:
R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{3}R_{2} \implies R_{2} = \bigl[0,\;1,\;1,\;\tfrac{1}{3},\;0 \mid \tfrac{10}{3}\bigr].
Com esse pivô 1 em \,x_{2}\, elimino as entradas não nulas em \,x_{2}\, nas outras linhas:
\begin{aligned} R_{1} &\leftarrow R_{1}-2R_{2},\\[2pt] R_{3} &\leftarrow R_{3}+5R_{2},\\[2pt] R_{4} &\leftarrow R_{4}-3R_{2},\\[2pt] R_{5} &\leftarrow R_{5}+R_{2}. \end{aligned}
Fazendo as contas (mostro resumo dos resultados):
  • R_{1}-2R_{2} = [1,0,-2,-5/3,1 \mid -8/3].
  • R_{3}+5R_{2} = [0,0,6,14/3,0 \mid 56/3].
  • R_{4}-3R_{2} = [0,0,-4,3,1 \mid 5].
  • R_{5}+R_{2} = [0,0,2,7/3,0 \mid 25/3].
Matriz atual:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -\tfrac{5}{3} & 1 & \vline & -\tfrac{8}{3}\\[6pt] 0 & 1 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & \vline & \tfrac{10}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 6 & \tfrac{14}{3} & 0 & \vline & \tfrac{56}{3}\\[6pt] 0 & 0 & -4 & 3 & 1 & \vline & 5\\[6pt] 0 & 0 & 2 & \tfrac{7}{3} & 0 & \vline & \tfrac{25}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Pivot na coluna \,x_{3}\, (terceira coluna). A terceira linha tem 6 em \,x_{3}\,; divido por 6 para obter pivô 1:
R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{6}R_{3} \implies R_{3}=\bigl[0,\;0,\;1,\;\tfrac{7}{9},\;0 \mid \tfrac{28}{9}\bigr].
Agora zero acima e abaixo do pivô em \,x_{3}\,:
\begin{aligned} R_{1} &\leftarrow R_{1}+2R_{3},\\[2pt] R_{2} &\leftarrow R_{2}-R_{3},\\[2pt] R_{4} &\leftarrow R_{4}+4R_{3},\\[2pt] R_{5} &\leftarrow R_{5}-2R_{3}. \end{aligned}
Calculando:
  • R_{1}+2R_{3} = [1,0,0,-\tfrac{1}{9},1 \mid \tfrac{32}{9}].
  • R_{2}-R_{3} = [0,1,0,-\tfrac{4}{9},0 \mid \tfrac{2}{9}].
  • R_{4}+4R_{3} = [0,0,0,\tfrac{55}{9},1 \mid \tfrac{157}{9}].
  • R_{5}-2R_{3} = [0,0,0,\tfrac{7}{9},0 \mid \tfrac{19}{9}].
Matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{9} & 1 & \vline & \tfrac{32}{9}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{4}{9} & 0 & \vline & \tfrac{2}{9}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{7}{9} & 0 & \vline & \tfrac{28}{9}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{55}{9} & 1 & \vline & \tfrac{157}{9}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{7}{9} & 0 & \vline & \tfrac{19}{9} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora pivot na coluna \,x_{4}\, (quarta coluna). A quarta linha tem \tfrac{55}{9} nessa coluna; converto em 1 multiplicando por \tfrac{9}{55}:
R_{4}\leftarrow \tfrac{9}{55}R_{4} \implies R_{4}=\bigl[0,\;0,\;0,\;1,\;\tfrac{9}{55} \mid \tfrac{157}{55}\bigr].
Eliminar as entradas na coluna \,x_{4}\, nas outras linhas:
\begin{aligned} R_{1} &\leftarrow R_{1}+\tfrac{1}{9}R_{4},\\[2pt] R_{2} &\leftarrow R_{2}+\tfrac{4}{9}R_{4},\\[2pt] R_{3} &\leftarrow R_{3}-\tfrac{7}{9}R_{4},\\[2pt] R_{5} &\leftarrow R_{5}-\tfrac{7}{9}R_{4}. \end{aligned}
Cálculos (destaco os resultados simplificados):
  • R_{1}+\tfrac{1}{9}R_{4} = \bigl[1,0,0,0,\tfrac{56}{55} \mid \tfrac{213}{55}\bigr].
  • R_{2}+\tfrac{4}{9}R_{4} = \bigl[0,1,0,0,\tfrac{4}{55} \mid \tfrac{82}{55}\bigr].
  • R_{3}-\tfrac{7}{9}R_{4} = \bigl[0,0,1,0,-\tfrac{7}{55} \mid \tfrac{49}{55}\bigr].
  • R_{5}-\tfrac{7}{9}R_{4} = \bigl[0,0,0,0,-\tfrac{7}{55} \mid -\tfrac{6}{55}\bigr].
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{56}{55} & \vline & \tfrac{213}{55}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{4}{55} & \vline & \tfrac{82}{55}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{7}{55} & \vline & \tfrac{49}{55}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{9}{55} & \vline & \tfrac{157}{55}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{7}{55} & \vline & -\tfrac{6}{55} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Última coluna de incógnitas: pivot em \,x_{5}\,. A quinta linha tem -\tfrac{7}{55} em \,x_{5}\,; multiplico a linha por -\tfrac{55}{7} para obter pivô 1:
R_{5}\leftarrow -\tfrac{55}{7}R_{5} \implies R_{5}=\bigl[0,\;0,\;0,\;0,\;1 \mid \tfrac{6}{7}\bigr].
Agora eliminamos a coluna \,x_{5}\, nas linhas superiores, usando R_{5}:
\begin{aligned} R_{1} &\leftarrow R_{1}-\tfrac{56}{55}R_{5},\\[2pt] R_{2} &\leftarrow R_{2}-\tfrac{4}{55}R_{5},\\[2pt] R_{3} &\leftarrow R_{3}+\tfrac{7}{55}R_{5},\\[2pt] R_{4} &\leftarrow R_{4}-\tfrac{9}{55}R_{5}. \end{aligned}
Fazendo as contas (atenção aos cancelamentos):
  • Para R_{1}: o termo independente fica \tfrac{213}{55}-\tfrac{56}{55}\cdot\tfrac{6}{7} = \tfrac{213}{55}-\tfrac{48}{55}=\tfrac{165}{55}=3. Logo R_{1}=[1,0,0,0,0\mid 3].
  • Para R_{2}: o termo independente fica \tfrac{82}{55}-\tfrac{4}{55}\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{82}{55}-\tfrac{24}{385}=\tfrac{10}{7}. Logo R_{2}=[0,1,0,0,0\mid \tfrac{10}{7}].
  • Para R_{3}: o termo independente fica \tfrac{49}{55}+\tfrac{7}{55}\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{49}{55}+\tfrac{6}{55}=1. Logo R_{3}=[0,0,1,0,0\mid 1].
  • Para R_{4}: o termo independente fica \tfrac{157}{55}-\tfrac{9}{55}\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{157}{55}-\tfrac{54}{385}=\tfrac{19}{7}. Logo R_{4}=[0,0,0,1,0\mid \tfrac{19}{7}].
A matriz está agora na forma reduzida com a identidade à esquerda e os termos independentes na coluna direita:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \vline & 3\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \vline & \tfrac{10}{7}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \vline & 1\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \vline & \tfrac{19}{7}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \vline & \tfrac{6}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Interpretação final: a matriz reduzida nos dá diretamente os valores das incógnitas (cada linha corresponde a uma equação do tipo x_{i} = \text{constante}). Portanto:
\begin{aligned} x_{1} &= 3,\\[4pt] x_{2} &= \tfrac{10}{7},\\[4pt] x_{3} &= 1,\\[4pt] x_{4} &= \tfrac{19}{7},\\[4pt] x_{5} &= \tfrac{6}{7}. \end{aligned}]

Resposta

x_{1}=3\
x_{2}=\tfrac{10}{7}\
x_{3}=1\
x_{4}=\tfrac{19}{7}\
x_{5}=\tfrac{6}{7}

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