Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{rrrrrr}x_{1}+2 x_{2} & & -3 x_{4} & +x_{5} & =0 \\\ x_{1}+2 x_{2} & +x_{3} & -3 x_{4} & +x_{5} & +2 x_{6} & =3 \\\ x_{1}+2 x_{2} & & -3 x_{4} & +2 x_{5} & +x_{6} & =4 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2} & +x_{3} & -9 x_{4} & +4 x_{5} & +3 x_{6} & =9\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por Gauss–Jordan, o sistema linear com incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}:
\left\{\begin{array}{rrrrrr} x_{1}+2x_{2} & & -3x_{4} & +x_{5} & =0\\[4pt] x_{1}+2x_{2} & +x_{3} & -3x_{4} & +x_{5} & +2x_{6} & =3\\[4pt] x_{1}+2x_{2} & & -3x_{4} & +2x_{5} & +x_{6} & =4\\[4pt] 3x_{1}+6x_{2} & +x_{3} & -9x_{4} & +4x_{5} & +3x_{6} & =9 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • São 4 equações e 6 incógnitas: esperamos, em princípio, solução única, infinita ou nenhuma dependendo da consistência.
  • O método a usar é Gauss–Jordan: transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (RREF) usando operações elementares de linha.
    A resolução começa a seguir convertendo o sistema em matriz aumentada e aplicando operações.]

Passo 2

Breve aula sobre o método Gauss–Jordan (passo a passo e intuitivo):
  • Objetivo: levar a matriz aumentada do sistema à forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha não-nula tem um 1 (pivot) que é o único elemento não-nulo na sua coluna, e os pivôs vão da esquerda para a direita.
  • Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por uma constante não-nula;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Sinais de resultado:
    • Se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b] com b\neq0, isso significa 0=b — contradição — o sistema é inconsistente (sem solução).
    • Se não houver contradição e houver variáveis sem pivô, essas variáveis são livres e o sistema tem infinitas soluções parametricamente determinadas.
      Agora aplico essas ideias ao nosso sistema, mostrando todas as operações.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada correspondente (colunas nas ordens x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6} e coluna aumentada à direita):
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & 4\\[4pt] 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & 9 \end{array}\right]
Explicação: cada linha é os coeficientes de uma equação, a última coluna é o termo independente.]

Passo 4

Primeira etapa: eliminar x_{1} das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô.
Faço:
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1},\qquad R_{4}\leftarrow R_{4}-3R_{1}.
Calculo cada uma:
  • R_{2}-R_{1} = [0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 2\mid 3].
  • R_{3}-R_{1} = [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\mid 4].
  • R_{4}-3R_{1} = [0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 3\mid 9].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 9 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora uso o pivô em R_{2} (coluna de x_{3}) para eliminar a mesma coluna em R_{4}:
R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{2}.
Cálculo:
  • R_{4}-R_{2} = [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\mid 6].
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora observo as linhas R_{3} e R_{4}: ambas têm os mesmos coeficientes nas colunas (colunas de x_{1} a x_{6}):
R_{3}=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\mid 4],\qquad R_{4}=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\mid 6].
Subtraio R_{3} de R_{4} para ver a relação:
R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{3}.
Isso produz:
R_{4} = [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 2].
Isto representa a equação 0=2, que é uma contradição.

Passo 7

Interpretação do resultado obtido:
  • A linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 2] equivale matematicamente a 0=2, impossível.
  • Pelo teorema fundamental sobre sistemas lineares: a presença de uma linha nula nos coeficientes com entrada não-nula na coluna aumentada indica que o sistema é inconsistente.
  • Conclusão: não existe nenhum vetor (x_{1},\dots,x_{6}) que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Sistema inconsistente (não existe solução).

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