Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} & =10 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4} & =6 \\\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4} & =2 \\\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{4} & =13\end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede: resolver o sistema linear usando o método de Gauss-Jordan, ou seja, encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} que satisfazem todas as equações simultaneamente.
  • Sistema dado:
\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &=10\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4} &=6\\[4pt] x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4} &=2\\[4pt] x_{1}+3x_{2}-x_{3}+2x_{4} &=13 \end{aligned}\right.
  • Variáveis incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Estratégia pedida: aplicar Gauss-Jordan — reduzir a matriz aumentada do sistema até obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde a parte esquerda fica a matriz identidade e a direita dará as soluções.]

Passo 2

O que é o método de Gauss-Jordan (explicação curta e prática).
  • Ideia: escrever o sistema como matriz aumentada e aplicar operações elementares por linha (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um escalar não nulo; somar um múltiplo de uma linha a outra) até transformar a parte dos coeficientes na matriz identidade. Quando a parte esquerda for a identidade, as entradas da coluna aumentada são os valores de x_{i}.
  • Objetivo final: obter
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \vline & x_{1}\\[2pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \vline & x_{2}\\[2pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \vline & x_{3}\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \vline & x_{4} \end{pmatrix}.
  • Vou executar passo a passo operações por linha, explicando cada uma e mostrando a matriz resultante.]

Passo 3

Montar a matriz aumentada inicial.
Pegando os coeficientes e termos independentes do sistema, a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 1 & -1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 3 & -1 & 2 & 13 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeiro passo prático: usar R_{1} como pivô para zerar entradas abaixo na coluna 1.
Aplicamos as operações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1},\qquad R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1}.
Calculando cada linha:
  • R_{2}:\;[2,1,-1,1\mid6]-2[1,1,1,1\mid10]=[0,-1,-3,-1\mid-14].
  • R_{3}:\;[1,-1,2,-1\mid2]-[1,1,1,1\mid10]=[0,-2,1,-2\mid-8].
  • R_{4}:\;[1,3,-1,2\mid13]-[1,1,1,1\mid10]=[0,2,-2,1\mid3].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -1 & -3 & -1 & -14\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -8\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 5

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 (facilita as eliminações) — escala de linha.
Multiplicamos R_{2} por -1:
R_{2}\leftarrow -1\cdot R_{2}\quad\Rightarrow\quad R_{2}=[0,1,3,1\mid14].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1 & 14\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -8\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar as outras entradas da coluna 2 usando o pivô R_{2}.
Operações:
R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2},\qquad R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{2}.
Calculando:
  • R_{1}:\;[1,1,1,1\mid10]-[0,1,3,1\mid14]=[1,0,-2,0\mid-4].
  • R_{3}:\;[0,-2,1,-2\mid-8]+2[0,1,3,1\mid14]=[0,0,7,0\mid20].
  • R_{4}:\;[0,2,-2,1\mid3]-2[0,1,3,1\mid14]=[0,0,-8,-1\mid-25].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1 & 14\\[4pt] 0 & 0 & 7 & 0 & 20\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -1 & -25 \end{array}\right].]

Passo 7

Pivô na terceira linha: tornar a entrada da coluna 3 igual a 1.
Dividimos R_{3} por 7:
R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{7}R_{3}\quad\Rightarrow\quad R_{3}=[0,0,1,0\mid\tfrac{20}{7}].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1 & 14\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{20}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -1 & -25 \end{array}\right].]

Passo 8

Zerar as outras entradas da coluna 3 usando o pivô R_{3}.
Operações:
R_{1}\leftarrow R_{1}+2R_{3},\qquad R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{3},\qquad R_{4}\leftarrow R_{4}+8R_{3}.
Calculando (com atenção às frações):
  • R_{1}:\;[1,0,-2,0\mid-4]+2[0,0,1,0\mid\tfrac{20}{7}]=[1,0,0,0\mid -4 + \tfrac{40}{7}]=[1,0,0,0\mid \tfrac{12}{7}] porque -4 = -\tfrac{28}{7} e -\tfrac{28}{7}+\tfrac{40}{7}=\tfrac{12}{7}.
  • R_{2}:\;[0,1,3,1\mid14]-3[0,0,1,0\mid\tfrac{20}{7}]=[0,1,0,1\mid 14 - \tfrac{60}{7}]=[0,1,0,1\mid \tfrac{38}{7}] porque 14=\tfrac{98}{7} e \tfrac{98}{7}-\tfrac{60}{7}=\tfrac{38}{7}.
  • R_{4}:\;[0,0,-8,-1\mid-25]+8[0,0,1,0\mid\tfrac{20}{7}]=[0,0,0,-1\mid -25 + \tfrac{160}{7}]=[0,0,0,-1\mid -\tfrac{15}{7}] porque -25=-\tfrac{175}{7} e -\tfrac{175}{7}+\tfrac{160}{7}=-\tfrac{15}{7}.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{12}{7}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & \tfrac{38}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{20}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -\tfrac{15}{7} \end{array}\right].]

Passo 9

Pivô na quarta linha: tornar a entrada da coluna 4 igual a 1.
Multiplicamos R_{4} por -1:
R_{4}\leftarrow -1\cdot R_{4}\quad\Rightarrow\quad R_{4}=[0,0,0,1\mid \tfrac{15}{7}].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{12}{7}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & \tfrac{38}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{20}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{15}{7} \end{array}\right].]

Passo 10

Zerar as outras entradas da coluna 4 usando o pivô R_{4}.
Operação necessária:
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{4}.
Calculando:
  • R_{2}:\;[0,1,0,1\mid \tfrac{38}{7}]-[0,0,0,1\mid \tfrac{15}{7}]=[0,1,0,0\mid \tfrac{38}{7}-\tfrac{15}{7}]=[0,1,0,0\mid \tfrac{23}{7}].
As outras linhas já têm zero na coluna 4, então a matriz final em forma reduzida é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{12}{7}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{23}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{20}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{15}{7} \end{array}\right].]

Passo 11

Ler a solução diretamente da matriz na forma reduzida.
  • A primeira linha diz x_{1}=\tfrac{12}{7}.
  • A segunda linha diz x_{2}=\tfrac{23}{7}.
  • A terceira linha diz x_{3}=\tfrac{20}{7}.
  • A quarta linha diz x_{4}=\tfrac{15}{7}.

Resposta

x_{1}=\dfrac{12}{7}
x_{2}=\dfrac{23}{7}
x_{3}=\dfrac{20}{7}
x_{4}=\dfrac{15}{7}

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