Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan. \left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} & =10 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4} & =6 \\\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4} & =2 \\\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{4} & =13\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
Pede: resolver o sistema linear usando o método de Gauss-Jordan, ou seja, encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Estratégia pedida: aplicar Gauss-Jordan — reduzir a matriz aumentada do sistema até obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde a parte esquerda fica a matriz identidade e a direita dará as soluções.]
Passo 2
O que é o método de Gauss-Jordan (explicação curta e prática).
Ideia: escrever o sistema como matriz aumentada e aplicar operações elementares por linha (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um escalar não nulo; somar um múltiplo de uma linha a outra) até transformar a parte dos coeficientes na matriz identidade. Quando a parte esquerda for a identidade, as entradas da coluna aumentada são os valores de x_{i}.
R_{1}:\;[1,0,-2,0\mid-4]+2[0,0,1,0\mid\tfrac{20}{7}]=[1,0,0,0\mid -4 + \tfrac{40}{7}]=[1,0,0,0\mid \tfrac{12}{7}] porque -4 = -\tfrac{28}{7} e -\tfrac{28}{7}+\tfrac{40}{7}=\tfrac{12}{7}.
R_{2}:\;[0,1,3,1\mid14]-3[0,0,1,0\mid\tfrac{20}{7}]=[0,1,0,1\mid 14 - \tfrac{60}{7}]=[0,1,0,1\mid \tfrac{38}{7}] porque 14=\tfrac{98}{7} e \tfrac{98}{7}-\tfrac{60}{7}=\tfrac{38}{7}.
R_{4}:\;[0,0,-8,-1\mid-25]+8[0,0,1,0\mid\tfrac{20}{7}]=[0,0,0,-1\mid -25 + \tfrac{160}{7}]=[0,0,0,-1\mid -\tfrac{15}{7}] porque -25=-\tfrac{175}{7} e -\tfrac{175}{7}+\tfrac{160}{7}=-\tfrac{15}{7}.