Resolva os sistemas lineares e classifique com Sistema Possível e Determinado (SPD), Sistema Possível e Indeterminado (SPI) e Sistema Impossível (SI)
\left\{\begin{array}{c}2 x+4 y=6 \\\ x+2 y=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x + 4y = 6,\\\ x + 2y = 3 \end{cases}
e classificá-lo como SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível). O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, usando determinante e consistência para decidir a classificação.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det(A) = 2\cdot 2 \;-\; 1\cdot 4 = 4 - 4 = 0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular, não há solução única; restam duas possibilidades: sistema impossível ou possível e indeterminado.]

Passo 3

Para verificar consistência, observamos que a segunda equação multiplicada por 2 gera exatamente a primeira:
2\,(x + 2y = 3)\;\Longrightarrow\;2x + 4y = 6.
Isso mostra que as duas equações são equivalentes. Logo, o sistema é consistente e tem infinitas soluções, pois há uma relação linear a menos que incógnitas.

Passo 4

Escolhemos y como parâmetro, digamos y = t com t\in\mathbb{R}. Da equação
x + 2y = 3
vem
x = 3 - 2y = 3 - 2t.
Portanto o conjunto-solução é
\bigl\{(x,y)\mid x = 3 - 2t,\;y = t,\;t\in\mathbb{R}\bigr\}.

Resposta

O sistema é SPI (possível e indeterminado), com solução
(x,y) = (3 - 2t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

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