Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(26) \left\{\begin{array}{r}x-y+2 z=3 \\\\ 2 x-2 y+4 z=7 \\\ x+y-z=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} x - y + 2z = 3 \\[4pt] 2x - 2y + 4z = 7 \\[4pt] x + y - z = 1 \end{array}\right.
As informações dadas são exatamente as três equações acima. A tarefa é encontrar os valores de x, y e z que satisfaçam todas as equações simultaneamente, usando Gauss ou Cramer conforme o caso.]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema para aplicar eliminação de Gauss. A matriz aumentada é
Rápida lembrança didática sobre eliminação de Gauss: a ideia é usar operações elementares entre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar diferente de zero, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz em uma forma escalonada, onde fica fácil ler as soluções. Se durante o processo aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq0, isso representa a equação 0= c (contradição) e indica que o sistema é incompatível (sem solução).]
Passo 3
Faço uma operação para zerar o primeiro elemento da segunda linha: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Vou calcular termo a termo para ficar bem claro:
A segunda linha agora é (0\\\ 0\\\ 0\mid 1), que corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 1,
ou seja, 0 = 1, uma contradição impossível. Pelo item didático anterior, isso significa que o sistema é incompatível: não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações.
Passo 5
Complementando com uma explicação sobre Cramer: a Regra de Cramer só pode ser aplicada se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo. A matriz dos coeficientes é
Note que a segunda linha de A é exatamente o dobro da primeira linha, pois (2,-2,4)=2\cdot(1,-1,2). Quando duas linhas são proporcionais, as linhas são linearmente dependentes e o determinante vale zero:
\det(A)=0.
Portanto a Regra de Cramer não se aplica (não pode ser usada) e, consistente com o que vimos pela eliminação, não há solução.]
Passo 6
Resumo e conclusão didática: ao aplicar eliminação de Gauss surgiu uma linha contraditória [0\\\ 0\\\ 0\mid 1], o que caracteriza um sistema incompatível. A presença de uma linha proporcional nas equações (segunda sendo duas vezes a primeira nos coeficientes, mas o termo independente não obedecendo a essa proporcionalidade) causa a contradição.