Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(25) \left\{\begin{array}{r}x+y+z=1 \\\\ 2 x+2 y+2 z=5 \\\\ 3 x-y+z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] 2x+2y+2z=5,\\[4pt] 3x-y+z=2. \end{cases}
As informações relevantes dadas são exatamente as três equações acima (cada coeficiente e cada termo independente). A incógnita pedida é o triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e intuitiva).
  • Há dois métodos usuais mencionados na instrução: a Regra de Cramer e eliminação de Gauss (eliminação por linhas). A Regra de Cramer exige que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero; nesse caso a solução é única e pode ser obtida por determinantes.
  • A eliminação de Gauss (ou eliminação por linhas) transforma o sistema em forma triangular por operações elementares nas linhas da matriz aumentada [A\mid b] e detecta claramente se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou é incompatível (sem solução).
Vou usar eliminação de Gauss porque antes mesmo de calcular determinantes dá para ver que a segunda equação é proporcional à primeira no lado dos coeficientes (os coeficientes da segunda linha são o dobro dos da primeira), o que indica que a matriz dos coeficientes tem determinante nulo e, portanto, Cramer não é aplicável. Vou explicar isso na prática ao montar a matriz aumentada e executar as operações.
Nota pedagógica rápida sobre Cramer e determinante:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Se uma linha de A for múltiplo escalar de outra (aqui a segunda linha é 2 vezes a primeira: (2,2,2)=2(1,1,1)), então as linhas são linearmente dependentes e \det(A)=0. Logo, não podemos aplicar Cramer (que pede \det(A)\neq 0). Por isso vamos para Gauss.]

Passo 3

Formo a matriz aumentada do sistema e inicio a eliminação:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 5\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 2 \end{array}\right].
Aplicarei operações do tipo R_j\leftarrow R_j - kR_i para zerar entradas abaixo do pivô da primeira coluna.
  1. R_2\leftarrow R_2-2R_1:
  • 2-2\cdot1=0,
  • 2-2\cdot1=0,
  • 2-2\cdot1=0,
  • 5-2\cdot1=3.
    Portanto R_2 vira [0\\\ 0\\\ 0\mid 3].
  1. R_3\leftarrow R_3-3R_1:
  • 3-3\cdot1=0,
  • -1-3\cdot1=-4,
  • 1-3\cdot1=-2,
  • 2-3\cdot1=-1.
    Portanto R_3 vira [0\\\ -4\\\ -2\mid -1].
A matriz aumentada após essas operações fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -4 & -2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpretação do resultado da eliminação.
  • Observe a segunda linha agora: [0\\\ 0\\\ 0\mid 3]. Essa linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 3,
ou seja, 0=3. Isso é uma contradição lógica — não existe nenhum valor de x,y,z que satisfaça 0=3. Quando, na matriz aumentada, aparece uma linha com todos os coeficientes iguais a zero e o termo independente diferente de zero, isso indica que o sistema é incompatível (não tem solução).
  • Em linguagem de teoria das equações lineares (teorema de Rouché–Capelli): o posto (rank) da matriz dos coeficientes A é menor que o posto da matriz aumentada [A\mid b], logo o sistema é incompatível.

Passo 5

Comentário adicional (intuitivo) sobre a origem da contradição.
  • Como já observado, a segunda equação do sistema, olhando apenas para os coeficientes, é 2x+2y+2z, que é exatamente 2 vezes a primeira equação x+y+z. Se as constantes do lado direito também fossem proporcionais (ou seja, se o segundo termo independente fosse 2\cdot1=2), então as duas equações seriam compatíveis entre si. Mas aqui o termo independente da segunda equação é 5, que não é 2. Isso cria uma incompatibilidade entre as duas equações: a mesma combinação linear dos coeficientes exige um valor diferente na direita, logo não há solução que satisfaça ambas.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

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