Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(24) \left\{\begin{aligned} x+2 y-z & =-1 \\\\ 2 x-y+3 z & =8 \\\\ 3 x+y+2 z & =7\end{aligned}\right.
As informações dadas são as três equações lineares acima. A pergunta é: encontrar todos os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente essas três equações.]
Passo 2
Escolha do método: vou usar eliminação de Gauss (eliminações por linhas). Racional: para sistemas 3\times3 a eliminação de Gauss é direta e mostra claramente se o sistema tem solução única, infinite ou nenhuma. Além disso, antes de aplicar Cramer (que usa determinante), faz sentido verificar o determinante da matriz dos coeficientes para saber se Cramer seria aplicável. A matriz dos coeficientes é
Como \det(A)=0, o teorema de Cramer NÃO é aplicável (não existe solução única determinada por determinantes). Então a eliminação de Gauss é a escolha apropriada para descobrir se há infinitas soluções ou nenhuma.]
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes. Operações elementares sobre linhas não mudam o conjunto de soluções.]
Passo 4
Eliminação abaixo do pivô da primeira coluna (usar primeira linha como pivô):
Atualizar a segunda linha: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos cada entrada:
Interpretação do escalonamento: a terceira linha 0=0 é identicamente verdadeira, indicando que as três equações não são independentes (já antecipado pelo determinante zero). O sistema tem posto 2 (duas equações independentes) e três incógnitas, logo haverá infinitas soluções com um parâmetro livre.
Escrevemos as duas equações não redundantes a partir das linhas escalonadas: