Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(24) \left\{\begin{aligned} x+2 y-z & =-1 \\\\ 2 x-y+3 z & =8 \\\\ 3 x+y+2 z & =7\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema
\begin{cases} x+2y-z=-1,\\[4pt] 2x-y+3z=8,\\[4pt] 3x+y+2z=7. \end{cases}
As informações dadas são as três equações lineares acima. A pergunta é: encontrar todos os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente essas três equações.]

Passo 2

Escolha do método: vou usar eliminação de Gauss (eliminações por linhas). Racional: para sistemas 3\times3 a eliminação de Gauss é direta e mostra claramente se o sistema tem solução única, infinite ou nenhuma. Além disso, antes de aplicar Cramer (que usa determinante), faz sentido verificar o determinante da matriz dos coeficientes para saber se Cramer seria aplicável. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[2pt]2 & -1 & 3\\[2pt]3 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Calcular o determinante para verificar se Cramer funciona:
\det(A)= 1\cdot\begin{vmatrix}-1 & 3\\[2pt]1 & 2\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}2 & 3\\[2pt]3 & 2\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}2 & -1\\[2pt]3 & 1\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}-1 & 3\\[2pt]1 & 2\end{vmatrix}=(-1)\cdot2-3\cdot1=-2-3=-5,
\begin{vmatrix}2 & 3\\[2pt]3 & 2\end{vmatrix}=2\cdot2-3\cdot3=4-9=-5,
\begin{vmatrix}2 & -1\\[2pt]3 & 1\end{vmatrix}=2\cdot1-(-1)\cdot3=2+3=5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-5)-2\cdot(-5)+(-1)\cdot5=-5+10-5=0.
Como \det(A)=0, o teorema de Cramer NÃO é aplicável (não existe solução única determinada por determinantes). Então a eliminação de Gauss é a escolha apropriada para descobrir se há infinitas soluções ou nenhuma.]

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -1\\[2pt] 2 & -1 & 3 & 8\\[2pt] 3 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right).
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes. Operações elementares sobre linhas não mudam o conjunto de soluções.]

Passo 4

Eliminação abaixo do pivô da primeira coluna (usar primeira linha como pivô):
  • Atualizar a segunda linha: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
    Calculemos cada entrada:
R_2: \\ (2,-1,3\mid 8)-2\cdot(1,2,-1\mid -1)=(2-2,\\\ -1-4,\\\ 3+2\mid\\\ 8+2)=(0,-5,5\mid 10).
  • Atualizar a terceira linha: R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
R_3: \\ (3,1,2\mid 7)-3\cdot(1,2,-1\mid -1)=(3-3,\\\ 1-6,\\\ 2+3\mid\\\ 7+3)=(0,-5,5\mid 10).
A matriz aumentada fica:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -1\\[2pt] 0 & -5 & 5 & 10\\[2pt] 0 & -5 & 5 & 10 \end{array}\right).]

Passo 5

Eliminação na segunda coluna: usar a segunda linha como pivô para zerar a entrada em R_3.
  • Atualizar terceira linha: R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
R_3: \\ (0,-5,5\mid 10)-(0,-5,5\mid 10)=(0,0,0\mid 0).
Agora a matriz aumentada está em forma escalonada:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -1\\[2pt] 0 & -5 & 5 & 10\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).]

Passo 6

Interpretação do escalonamento: a terceira linha 0=0 é identicamente verdadeira, indicando que as três equações não são independentes (já antecipado pelo determinante zero). O sistema tem posto 2 (duas equações independentes) e três incógnitas, logo haverá infinitas soluções com um parâmetro livre.
Escrevemos as duas equações não redundantes a partir das linhas escalonadas:
\begin{cases} x+2y-z=-1,\\[4pt] -5y+5z=10. \end{cases}]

Passo 7

Resolver as equações reduzidas por substituição:
Da segunda equação temos
-5y+5z=10.
Dividindo ambos os lados por -5:
y-z=-2.
Isolando y:
y=z-2.
Agora substituímos em x+2y-z=-1:
x+2(z-2)-z=-1.
Simplificando:
x+2z-4-z=-1 \quad\Rightarrow\quad x+z-4=-1.
Isolando x:
x+z=3 \quad\Rightarrow\quad x=3-z.

Passo 8

Parametrização da solução: como sobra uma variável livre, tome z=t com t\in\mathbb{R}. Então
x=3-t,\qquad y=t-2,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida com um valor de exemplo: para t=0 obtemos (x,y,z)=(3,-2,0). Substituindo na primeira equação:
3+2(-2)-0=3-4=-1,
na segunda:
2\cdot3-(-2)+3\cdot0=6+2=8,
na terceira:
3\cdot3+(-2)+2\cdot0=9-2=7,
todas satisfeitas, então a parametrização está correta.

Resposta

x=3-t
y=t-2
z=t,\\ t\in\mathbb{R}

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