Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =1 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}-3 x_{3} & =1 \\\\ -2 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}-3x_{3}=1,\\[4pt] -2x_{1}-x_{2}+x_{3}=0. \end{cases}
Informações dadas:
  • São três equações lineares em três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • O objetivo é encontrar o valor de cada incógnita que satisfaça todas as equações simultaneamente.
  • Vou usar eliminação por Gauss-Jordan (reduzir a matriz aumentada à forma escalonada reduzida) — método pedido pelo enunciado. A cada passo explico a operação elementar feita e por que faço isso.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada do sistema. A matriz composta pelos coeficientes e a coluna dos termos independentes é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 3 & 1 & -3 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right].
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação e as colunas correspondem a x_{1},x_{2},x_{3} e ao termo à direita do sinal de igual.]

Passo 3

Objetivo inicial: obter um 1 no pivô da primeira coluna (posição (1,1)) para facilitar eliminações abaixo. Divido a primeira linha por 2 (operação elementar permitida: multiplicar linha por escalar não nulo):
R_{1}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{1}
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 3 & 1 & -3 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right].
Comentário: ter um 1 como pivô simplifica calcular multiplicadores para zerar abaixo.]

Passo 4

Zerar os elementos abaixo do pivô em coluna 1 (tornar as entradas na posição (2,1) e (3,1) iguais a zero) usando combinações lineares com R_{1}.
  • Para a segunda linha: R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1}. Calculando cada entrada:
    • 3-3\cdot1=0,
    • 1-3\cdot1=-2,
    • -3-3\cdot(-\tfrac{1}{2})=-3+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{3}{2},
    • 1-3\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • Para a terceira linha: R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1}. Calculando:
    • -2+2\cdot1=0,
    • -1+2\cdot1=1,
    • 1+2\cdot(-\tfrac{1}{2})=1-1=0,
    • 0+2\cdot\tfrac{1}{2}=1.
Matriz após as operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & -2 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Comentário: agora a primeira coluna está na forma desejada (1 no topo e zeros abaixo).]

Passo 5

Escolher pivô para a segunda coluna. Observando as linhas, é mais conveniente trocar R_{2} e R_{3} porque R_{3} já tem 1 na segunda coluna (pivô simples). Faço a troca:
R_{2}\leftrightarrow R_{3}.
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[6pt] 0 & -2 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Explicação: trocar linhas é permitido e facilita eliminar mais facilmente os outros elementos na coluna 2.]

Passo 6

Zerar os elementos restantes na coluna 2, isto é, tornar a entrada (1,2) igual a zero e a entrada (3,2) já será zerada com a operação adequada:
  • Para zerar (1,2)=1: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}. Calculando R_{1}:
    • 1-0=1 (coluna 1 permanece 1),
    • 1-1=0,
    • -\tfrac{1}{2}-0=-\tfrac{1}{2},
    • \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.
  • Para zerar (3,2)=-2: R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2}. Calculando R_{3}:
    • 0+2\cdot0=0,
    • -2+2\cdot1=0,
    • -\tfrac{3}{2}+2\cdot0=-\tfrac{3}{2},
    • -\tfrac{1}{2}+2\cdot1=-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{3}{2}.
Matriz atual:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} \end{array}\right].
Comentário: agora as duas primeiras colunas estão na forma desejada (pivôs com zeros acima e abaixo).]

Passo 7

Pivô na terceira coluna: a entrada (3,3) é -\tfrac{3}{2}. Normalizo essa linha para obter pivô igual a 1 dividindo R_{3} por -\tfrac{3}{2} (ou multiplicando por -\tfrac{2}{3}):
R_{3}\leftarrow \left(-\tfrac{2}{3}\right)R_{3}.
Cálculo do termo independente: \tfrac{3}{2}\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-1. Assim:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right].
Comentário: agora a matriz está quase na forma escalonada reduzida; falta eliminar a contribuição do x_{3} nas linhas acima.]

Passo 8

Zerar as entradas acima do pivô da terceira coluna para obter a forma reduzida:
  • A entrada (1,3) é -\tfrac{1}{2}. Para zerá-la: R_{1}\leftarrow R_{1} + \tfrac{1}{2}R_{3}. Calculando o termo independente:
    • -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot(-1) = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = -1.
      Linha R_{2} já tem zero em coluna 3, nada a fazer.
Matriz final em forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right].
Interpretação: cada linha diz diretamente o valor da incógnita correspondente.]

Passo 9

Ler a solução diretamente da matriz reduzida. As equações correspondentes são:
x_{1}=-1,\qquad x_{2}=1,\qquad x_{3}=-1.
Pequena verificação mental rápida (substituir na primeira equação): 2(-1)+2(1)-(-1)=-2+2+1=1, confere com o lado direito; as demais também conferem.

Resposta

x_{1}=-1,\quad x_{2}=1,\quad x_{3}=-1

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