Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
lx+y+z+w=0 x+y+z-w=4 x+y-z+w=-4 x-y+z+w=2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. A gente vai mexer com matrizes ampliadas, reduzir elas pra uma forma bem organizada chamada “forma escada” e descobrir alguns detalhes importantes, como os postos das matrizes e se o sistema tem solução ou não. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, matrizes e operações elementares de linha. Então, bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x + y + z + w = 0 x + y + z - w = 4 x + y - z + w = -4 x - y + z + w = 2

Passo 3

Agora, vamos transformar esse sistema numa matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações. Ficaria assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & 1 & -1 & | & 4 1 & 1 & -1 & 1 & | & -4 1 & -1 & 1 & 1 & | & 2

Passo 4

Nosso próximo passo é reduzir essa matriz para a forma escada. Para isso, vamos usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações ajudam a simplificar a matriz sem mudar as soluções do sistema.
Vamos começar subtraindo a primeira linha das demais para eliminar o primeiro elemento de cada uma delas:
  • Linha 2: Linha2 - Linha1
  • Linha 3: Linha3 - Linha1
  • Linha 4: Linha4 - Linha1
After these operations, the matrix becomes:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & -2 & | & 4 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2

Passo 5

Vamos continuar reduzindo a matriz. Observamos que na Linha 2 temos -2 na coluna w. Vamos simplificar essa linha dividindo todos os elementos por -2:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & -2 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2

Passo 6

Agora, vamos usar a Linha 2 para eliminar o coeficiente de w nas outras linhas.
  • Linha 1: Linha1 - Linha2
  • Linha 3: Como w na Linha 3 é 0, não precisa mudar.
  • Linha 4: Como w na Linha 4 é 0, não precisa mudar.
Depois dessas operações, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & | & -2 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2

Passo 7

Vamos agora focar na Linha 3. Vamos simplificar dividindo todos os termos por -2:
1 & 1 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & | & -2 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2

Passo 8

Agora, usaremos a Linha 3 para eliminar o coeficiente de z nas outras linhas.
  • Linha 1: Linha1 - Linha3
  • Linha 4: Sem z na Linha 4, não precisamos mudar.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & -2 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2

Passo 9

Vamos agora tratar da Linha 4. Podemos simplificar dividindo todos os termos por -2:
1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & -2 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1

Passo 10

Finalmente, vamos usar a Linha 4 para eliminar o coeficiente de y na Linha 1. Subtraindo a Linha 4 da Linha 1:
  • Linha 1: Linha1 - Linha4
A matriz final fica:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 0 & 0 & 0 & 1 & | & -2 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1

Passo 11

Pronto! Finalmente reduzimos a matriz para a forma escada. Agora, vamos identificar os postos das matrizes.
  • Matriz Ampliada: É a matriz que inclui os termos constantes. O posto dela é o número de linhas não nulas na forma escada, que aqui é 4.
  • Matriz dos Coeficientes: É só a parte dos coeficientes das variáveis. Também tem posto 4.

Passo 12

Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes (4 = 4) e esse posto é igual ao número de variáveis (4), o sistema é possível e determinado. Isso significa que tem uma única solução sem graus de liberdade.

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1 y = -1 z = 2 w = -2
O posto da matriz ampliada é 4, o posto da matriz dos coeficientes também é 4, e o sistema é possível e determinado, sem graus de liberdade.

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