Seja a reta paralela a reta e que passa pela origem. Considere as sentenças:
O ponto pertence a reta
A reta é ortogonal a reta
A reta está contida no plano
A reta é paralela ao plano
O número exato de sentenças corretas é:
e) nenhuma das sentenças está correta
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre geometria analítica envolvendo retas e planos no espaço tridimensional. Precisamos analisar quatro afirmações sobre a reta , que é paralela à reta e passa pela origem. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores, paralelismo e ortogonalidade entre retas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta . A equação dada é . Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
O vetor diretor da reta é .
Passo 3
Como a reta r: x = 0 + lambda y = 0 + 2lambda z = 0 + lambda é paralela à reta r: x = lambda y = 2lambda z = lambda e passa pela origem, seu vetor diretor também será . Assim, a equação paramétrica da reta é:
ou simplificando:
Passo 4
Agora, vamos verificar cada uma das sentenças:
Sentença 1: O ponto x = lambda = 2 y = 2lambda = 4 z = lambda = 5 pertence à reta lambda = 2 (de x) lambda = 2 (de y) lambda = 5 (de z) .
Para pertencer à reta , deve existir um valor de que satisfaça as três equações:
Resolvendo:
Como não é consistente nas três equações, o ponto não pertence à reta . Sentença 1 está incorreta.
Passo 5
Sentença 2: A reta ur cdot us = (1)(1) + (2)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 -1 = 0 é ortogonal à reta .
Duas retas são ortogonais se seus vetores diretores forem perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
Vetor diretor de :
Vetor diretor de :
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais. Sentença 2 está correta.
Passo 6
Sentença 3: A reta x - y + z = lambda - 2lambda + lambda = 0 está contida no plano .
Para verificar se está contida no plano , substituímos as coordenadas paramétricas de na equação do plano:
A equação é satisfeita para qualquer , então todos os pontos de pertencem a . Sentença 3 está correta.
Passo 7
Sentença 4: A reta ur cdot n = (1)(-2) + (2)(1) + (1)(0) = -2 + 2 + 0 = 0 é paralela ao plano .
Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano.
Vetor normal do plano :
Vetor diretor de :
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Sentença 4 está correta.