Calcule a distância entre a reta
e o plano
:
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre uma reta
e um plano
. O enunciado nos dá a reta
definida por:
e o plano
dado por:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre linhas e planos. Para isso, vamos precisar entender vetores normais aos planos e como calcular a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta
. Ela está definida por
e
, o que significa que
pode ser qualquer número. Então, podemos representar a reta
em forma paramétrica como:
onde
é o parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano
que é dado por
. Podemos identificar o vetor normal ao plano, que é o vetor cujas componentes são os coeficientes de
,
e
na equação do plano. Então, o vetor normal
é:
Esse vetor é importante porque ele nos ajuda a determinar se a reta é paralela ao plano.
Passo 4
Para descobrir se a reta
é paralela ao plano
, precisamos ver se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor diretor da reta
é
, já que só a componente
varia.
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares, ou seja, a reta
é paralela ao plano
.
Passo 5
Como a reta é paralela ao plano, a distância entre eles pode ser calculada usando a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Vamos escolher um ponto fácil na reta
, por exemplo, quando
:
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto
a um plano
:
No nosso caso, a equação do plano é
, então
,
,
, e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Para deixar a resposta mais “bonitinha”, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por
:
Resposta
A distância entre a reta
e o plano
é: