Calcule a distância entre a reta r e o plano pi: r : lx=3 y=4 e pi: x+y-12=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre uma reta r: l x = 3 y = 4 e um plano pi: x + y - 12 = 0 . O enunciado nos dá a reta definida por:
e o plano dado por:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre linhas e planos. Para isso, vamos precisar entender vetores normais aos planos e como calcular a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r: (3, 4, z) . Ela está definida por e , o que significa que pode ser qualquer número. Então, podemos representar a reta em forma paramétrica como:
onde é o parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano n = (1, 1, 0) que é dado por . Podemos identificar o vetor normal ao plano, que é o vetor cujas componentes são os coeficientes de , e na equação do plano. Então, o vetor normal é:
Esse vetor é importante porque ele nos ajuda a determinar se a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Para descobrir se a reta n cdot d = 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 é paralela ao plano , precisamos ver se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor diretor da reta é , já que só a componente varia.
Calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares, ou seja, a reta é paralela ao plano .

Passo 5

Como a reta é paralela ao plano, a distância entre eles pode ser calculada usando a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Vamos escolher um ponto fácil na reta P = (3, 4, 0) , por exemplo, quando d = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 :
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
No nosso caso, a equação do plano é , então , , , e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = |1 cdot 3 + 1 cdot 4 + 0 cdot 0 - 12|raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = |3 + 4 - 12|raiz2 = |-5|raiz2 = 5raiz2
Para deixar a resposta mais “bonitinha”, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por d = 5 raiz22 :

Resposta

A distância entre a reta d = 5 raiz22 e o plano é:

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