Resolva os sistemas a seguir:
\left\{ \begin{aligned} x-2 y+3 z & =0 \\\\ 2 x+5 y+6 z & =0\end{aligned} \right.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede. Foi dado o sistema linear com três incógnitas e duas equações:
\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 2x+5y+6z=0. \end{cases}
O pedido é: encontrar todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas duas equações (ou seja, resolver o sistema).]

Passo 2

Observação importante sobre o tipo de sistema. Aqui temos 2 equações e 3 incógnitas. Em geral isso pode levar a:
  • nenhuma solução (inconsistente),
  • uma solução única,
  • ou infinitas soluções (normalmente parametrizadas por uma ou mais variáveis livres).
Como regra prática para a prova: quando há menos equações que incógnitas é comum esperar soluções infinitas; então vamos procurar uma parametrização (expressar algumas incógnitas em função de uma ou mais parâmetros). Não vamos assumir nada ainda — só vamos resolver e ver o que acontece.

Passo 3

Escolha do método e ideia geral. Vou usar eliminação por substituição (método simples e direto): isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra, reduzindo o número de incógnitas. Isso é fácil de fazer sem calculadora e é seguro para provas.

Passo 4

Isolar x na primeira equação. A primeira equação é
x-2y+3z=0.
Isolando x temos
x = 2y - 3z.

Passo 5

Substituir x na segunda equação. A segunda equação é
2x+5y+6z=0.
Substituindo x=2y-3z obtemos
2(2y-3z)+5y+6z=0.
Desenvolvendo os parênteses:
4y-6z+5y+6z=0.
Agora somamos os termos semelhantes: os termos em y são 4y+5y=9y; os termos em z são -6z+6z=0. Logo
9y+0=0 \quad\Rightarrow\quad 9y=0.
Portanto
y=0.

Passo 6

Voltar à expressão de x e obter x em função de z. Substituindo y=0 em x=2y-3z temos
x=2\cdot 0 - 3z = -3z.

Passo 7

Introduzir um parâmetro para a variável livre. A variável z não foi determinada por nenhuma equação — ela é livre. Em provas o procedimento padrão é chamar essa variável livre de um parâmetro, por exemplo t\in\mathbb{R}, e escrever:
z=t.
Então
x=-3t,\qquad y=0,\qquad z=t.

Passo 8

Escrever a solução em forma vetorial e verificar rapidamente. A família de soluções pode ser escrita como
(x,y,z)=t(-3,0,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (substituir a forma geral nas equações):
x-2y+3z = -3t - 2\cdot 0 + 3t = 0,
2x+5y+6z = 2(-3t)+5\cdot 0 +6t = -6t+6t = 0.
Ambas iguais a zero para todo t, logo a parametrização está correta.

Passo 9

Interpretação geométrica e dica de prova. A solução é uma reta passando pela origem no espaço \mathbb{R}^3, direção (-3,0,1). Dica prática: sempre que sobram incógnitas, marque-as como parâmetros; elimine até conseguir escrever as demais em função desses parâmetros.

Resposta

(x,y,z)=t(-3,0,1),\\ t\in\mathbb{R}

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