Resolva os sistemas a seguir:
\left\{ \begin{array}{rr}x+y+z= & 2 \\\ x-y-z= & -3 \\\\ 2 x+y+2 z= & 1 \\\\ 3 x+2 y+3 z= & 3\end{array} \right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o sistema de quatro equações com três incógnitas:
\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z &=& 2,\\[4pt] x-y-z &=& -3,\\[4pt] 2x+y+2z &=& 1,\\[4pt] 3x+2y+3z &=& 3, \end{array} \right.
  • O que se pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente (ou concluir se não existe solução).]

Passo 2

Escolha do método e noções básicas (explicação didática):
  • Método escolhido: eliminação por combinações lineares (método de Gauss simples). Motivo: é direto para sistemas lineares; permite eliminar incógnitas somando/subtraindo equações, sem precisar de cálculo matricial avançado.
  • Operações permitidas em sistemas (essas manipulacões NÃO mudam o conjunto de soluções):
    1. Multiplicar uma equação por um escalar não nulo.
    2. Somar a uma equação um múltiplo de outra equação.
    3. Trocar a ordem das equações.
  • Objetivo prático: usar essas operações para eliminar variáveis progressivamente até obter equações mais simples (por exemplo, primeiro uma equação com apenas uma incógnita).

Passo 3

Eliminar variáveis de maneira direta observando as duas primeiras equações:
  • Some a primeira e a segunda equações para eliminar y e z. Em fórmulas:
(x+y+z)+(x-y-z) = 2+(-3).
  • No lado esquerdo as parcelas em y e z cancelam:
2x = -1.
  • Portanto:
x = -\dfrac{1}{2}.
Comentário rápido: somar equações é uma aplicação direta da operação 2 citada acima; aqui foi muito eficiente porque as incógnitas y e z desapareceram simultaneamente.

Passo 4

Usar o valor de x para reduzir o sistema a duas equações com y e z:
  • Substitua \;x=-\dfrac{1}{2}\; na primeira equação \;x+y+z=2\;:
-\dfrac{1}{2}+y+z = 2.
  • Isolando y+z:
y+z = 2+\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.
  • Agora substitua \;x=-\dfrac{1}{2}\; na terceira equação \;2x+y+2z=1\;:
2\left(-\dfrac{1}{2}\right)+y+2z = 1.
  • Simplificando:
-1 + y + 2z = 1 \quad\Rightarrow\quad y + 2z = 2.
Agora temos o sistema reduzido em y,z:
\left\{ \begin{array}{rcl} y+z &=& \dfrac{5}{2},\\[6pt] y+2z &=& 2. \end{array} \right.]

Passo 5

Resolver o sistema reduzido em y e z:
  • Subtraia a primeira equação da segunda para eliminar y:
(y+2z)-(y+z) = 2 - \dfrac{5}{2}.
  • No lado esquerdo fica z, no direito:
z = 2 - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{2}.
  • Com z=-\dfrac{1}{2}, volte em y+z=\dfrac{5}{2}:
y + \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = 3.
Assim:
y = 3,\qquad z = -\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Determinar x (já tínhamos) e escrever solução encontrada:
  • Recall: x = -\dfrac{1}{2}.
  • Logo a solução candidata é:
x = -\dfrac{1}{2},\qquad y = 3,\qquad z = -\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Verificação: checar que a solução satisfaz todas as equações, inclusive a quarta que não usamos diretamente para determinar x,y,z:
  • Compute a quarta equação com esses valores:
3x+2y+3z = 3\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2\cdot 3 + 3\left(-\dfrac{1}{2}\right).
  • Calcule passo a passo:
3\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{2},\qquad 2\cdot 3 = 6,\qquad 3\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{2}.
-\dfrac{3}{2} + 6 -\dfrac{3}{2} = 6 - 3 = 3.
  • A igualdade é satisfeita, logo a solução é consistente com todas as equações.
Comentário: notou que a quarta equação é exatamente a soma da primeira com a terceira:
(x+y+z)+(2x+y+2z)=3x+2y+3z,
com lados direitos 2+1=3. Isso mostra que a quarta equação era linearmente dependente das outras — por isso não impediu consistência nem adicionou nova informação.

Passo 8

Conclusão sobre existência e unicidade:
  • Encontramos uma única tripla (x,y,z) que satisfaz todas as equações. Como as três incógnitas ficaram determinadas, a solução é única.

Resposta

x=-\dfrac{1}{2}
y=3
z=-\dfrac{1}{2}

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