O que se pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente (ou concluir se não existe solução).]
Passo 2
Escolha do método e noções básicas (explicação didática):
Método escolhido: eliminação por combinações lineares (método de Gauss simples). Motivo: é direto para sistemas lineares; permite eliminar incógnitas somando/subtraindo equações, sem precisar de cálculo matricial avançado.
Operações permitidas em sistemas (essas manipulacões NÃO mudam o conjunto de soluções):
Multiplicar uma equação por um escalar não nulo.
Somar a uma equação um múltiplo de outra equação.
Trocar a ordem das equações.
Objetivo prático: usar essas operações para eliminar variáveis progressivamente até obter equações mais simples (por exemplo, primeiro uma equação com apenas uma incógnita).
Passo 3
Eliminar variáveis de maneira direta observando as duas primeiras equações:
Some a primeira e a segunda equações para eliminar y e z. Em fórmulas:
(x+y+z)+(x-y-z) = 2+(-3).
No lado esquerdo as parcelas em y e z cancelam:
2x = -1.
Portanto:
x = -\dfrac{1}{2}.
Comentário rápido: somar equações é uma aplicação direta da operação 2 citada acima; aqui foi muito eficiente porque as incógnitas y e z desapareceram simultaneamente.
Passo 4
Usar o valor de x para reduzir o sistema a duas equações com y e z:
Substitua \;x=-\dfrac{1}{2}\; na primeira equação \;x+y+z=2\;:
-\dfrac{1}{2}+y+z = 2.
Isolando y+z:
y+z = 2+\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.
Agora substitua \;x=-\dfrac{1}{2}\; na terceira equação \;2x+y+2z=1\;:
A igualdade é satisfeita, logo a solução é consistente com todas as equações.
Comentário: notou que a quarta equação é exatamente a soma da primeira com a terceira:
(x+y+z)+(2x+y+2z)=3x+2y+3z,
com lados direitos 2+1=3. Isso mostra que a quarta equação era linearmente dependente das outras — por isso não impediu consistência nem adicionou nova informação.
Passo 8
Conclusão sobre existência e unicidade:
Encontramos uma única tripla (x,y,z) que satisfaz todas as equações. Como as três incógnitas ficaram determinadas, a solução é única.