Resolva a solução geral do sistema x^{\prime}=A x e a solução do problema de valori inicial dado. A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right), x(0)=(1,2)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
A solução geral do sistema \,x' = A x\, com \,A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.
A solução do problema de valor inicial com \,x(0) = (1,2).
Método escolhido (explicação didática e porque funciona):
Para resolver \,x' = A x\, é muito comum procurar autovalores e autovetores de \,A.
Motivo: se \,v é um autovetor de \,A associado ao autovalor \,\lambda, então a função \,t\mapsto e^{\lambda t}v satisfaz \,x' = A x. Isso ocorre porque
\frac{d}{dt}\big(e^{\lambda t}v\big)=\lambda e^{\lambda t}v \quad\text{e}\quad A\big(e^{\lambda t}v\big)=e^{\lambda t}Av=e^{\lambda t}\lambda v.
Se \,A tem dois autovetores linearmente independentes (no caso 2×2 isso dá uma base), a solução geral é combinação linear dessas soluções exponenciais.
Passo 3
Calcular os autovalores (polinômio característico):
A equação 3x_1+3x_2=0 dá x_1=-x_2. Podemos escolher o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Escrever a solução geral usando os autopares (\lambda_1,v_1) e (\lambda_2,v_2):
Como explicado, e^{\lambda_1 t}v_1 e e^{\lambda_2 t}v_2 são soluções. Portanto a solução geral é
onde C_1 e C_2 são constantes reais que serão fixadas pela condição inicial.]
Passo 7
Aplicar a condição inicial \,x(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\):
Avaliar em \(t=0\):
\[x(0)=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}C_1+C_2\\[4pt]C_1-C_2\end{pmatrix}.
Igualando a \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} obtemos o sistema para C_1,C_2:
Solução com x(0)=(1,2): x(t)=\dfrac{3}{2}e^{4t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}, ou equivalentemente