Resolva somente 1 das questóes abaixo:
Provar o teorema da translação real da transformada z para o caso do atraso no tempo.

Passo 1

O que precisamos provar é o seguinte resultado da transformada Z para uma sequência atrasada no tempo. Seja x[n] uma sequência com transformada
X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]\,z^{-n}.
Queremos mostrar que, para um inteiro k>0, a sequência atrasada
x_d[n]=x[n-k]\,u[n-k]
(onde u[n] é o degrau unitário) tem transformada
\mathcal{Z}\{x[n-k]\,u[n-k]\}=z^{-k}X(z).

Passo 2

Começamos pela definição da transformada Z da sequência atrasada:
\mathcal{Z}\{x[n-k]\,u[n-k]\} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-k]\,u[n-k]\,z^{-n}.
Como u[n-k] vale zero para n<k e vale 1 para n\ge k, podemos reescrever o somatório limitando n a partir de k:
\sum_{n=k}^{\infty}x[n-k]\,z^{-n}.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável m=n-k. Quando n varia de k a \infty, m varia de 0 a \infty. Além disso, z^{-n}=z^{-(m+k)}=z^{-k}\,z^{-m}. Assim
\sum_{n=k}^{\infty}x[n-k]\,z^{-n} =\sum_{m=0}^{\infty}x[m]\,z^{-(m+k)} =z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty}x[m]\,z^{-m}.

Passo 4

Reconhecemos o somatório final como a transformada original X(z). Logo
\mathcal{Z}\{x[n-k]\,u[n-k]\} =z^{-k}X(z).

Resposta

\boxed{\mathcal{Z}\{x[n-k]\,u[n-k]\}=z^{-k}X(z).}

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