Resolva somente 1 das questóes abaixo:
Provar o teorema do valor final para o caso discreto.

Passo 1

O objetivo é provar o Teorema do Valor Final para sequências discretas causais. Em termos de Z-transformada, se x[n] é uma sequência causal com Z-transformada
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]\,z^{-n},
vamos mostrar sob condições de convergência apropriadas que
\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to1}\bigl(1 - z^{-1}\bigr)\,X(z).

Passo 2

Defina a diferença de primeira ordem
\Delta x[n] = x[n] - x[n-1],
com a convensão x[-1]=0. Note que a soma telescópica das diferenças dá
\sum_{k=0}^{N}\Delta x[k] = x[N] - x[-1] = x[N],
e, fazendo N\to\infty, obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}\Delta x[k] = \lim_{n\to\infty}x[n].

Passo 3

Calcule a Z-transformada de \Delta x[n]:
\mathcal{Z}\{\Delta x[n]\} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(x[n]-x[n-1]\bigr)z^{-n} =\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n} -\sum_{n=0}^{\infty}x[n-1]z^{-n}.
Reescrevendo a segunda soma com índice m=n-1 resulta
\mathcal{Z}\{\Delta x[n]\} =X(z) - z^{-1}X(z) =\bigl(1 - z^{-1}\bigr)\,X(z).

Passo 4

Se todos os polos de \bigl(1 - z^{-1}\bigr)X(z) estiverem estritamente dentro do círculo unitário, então a série \sum_{k=0}^{\infty}\Delta x[k] converge e vale o valor de \mathcal{Z}\{\Delta x[n]\} em z=1. Ou seja,
\sum_{k=0}^{\infty}\Delta x[k] =\lim_{z\to1}\mathcal{Z}\{\Delta x[n]\} =\lim_{z\to1}\bigl(1 - z^{-1}\bigr)\,X(z).

Passo 5

Conjugando os resultados dos passos anteriores, como
\lim_{n\to\infty}x[n] =\sum_{k=0}^{\infty}\Delta x[k],
temos finalmente
\lim_{n\to\infty}x[n] =\lim_{z\to1}\bigl(1 - z^{-1}\bigr)\,X(z).

Resposta

Para uma sequência causal x[n] cuja Z-transformada X(z) satisfaça que todos os polos de \bigl(1 - z^{-1}\bigr)X(z) estão dentro do círculo unitário, vale
\lim_{n\to\infty}x[n] =\lim_{z\to1}\bigl(1 - z^{-1}\bigr)\,X(z).

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