Resolva somente 1 das questóes abaixo:
Provar o teorema do valor final para o caso discreto.
Provar o teorema do valor final para o caso discreto.
Passo 1
O objetivo é provar o Teorema do Valor Final para sequências discretas causais. Em termos de Z-transformada, se
é uma sequência causal com Z-transformada
vamos mostrar sob condições de convergência apropriadas que
Passo 2
Defina a diferença de primeira ordem
com a convensão
. Note que a soma telescópica das diferenças dá
e, fazendo
, obtemos
Passo 3
Calcule a Z-transformada de
:
Reescrevendo a segunda soma com índice
resulta
Passo 4
Se todos os polos de
estiverem estritamente dentro do círculo unitário, então a série
converge e vale o valor de
em
. Ou seja,
Passo 5
Conjugando os resultados dos passos anteriores, como
temos finalmente
Resposta
Para uma sequência causal
cuja Z-transformada
satisfaça que todos os polos de
estão dentro do círculo unitário, vale