Resolva, por T.L
y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sent} U_{2 \pi}(t), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado (peguei estes dados do enunciado) nos dá a equação diferencial de segunda ordem com condição inicial:
y''+4y=\sin t\;U_{2\pi}(t),\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: resolver a equação por transformada de Laplace (T.L.), isto é, encontrar y(t) para todo t. Informação importante extraída: U_{2\pi}(t) é a função degrau unitário deslocada em 2\pi (ou seja, U_{2\pi}(t)=0 para t<2\pi e U_{2\pi}(t)=1 para t\ge2\pi).

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados. Lembrando a fórmula da transformada de Laplace para derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).
Aqui y(0)=1 e y'(0)=0. Aplicando \mathcal{L} à equação obtemos
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{\sin t\;U_{2\pi}(t)\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas:
\big(s^2Y(s)-s\cdot 1 -0\big)+4Y(s)=\mathcal{L}\{\sin t\;U_{2\pi}(t)\}.

Passo 3

Simplifico o lado esquerdo:
Y(s)(s^2+4)-s=\mathcal{L}\{\sin t\;U_{2\pi}(t)\}.
Agora preciso da transformada de \sin t\;U_{2\pi}(t). Uso a propriedade de deslocamento no tempo: para a função f(t) vale
\mathcal{L}\{f(t-a)U_a(t)\}=e^{-as}\mathcal{L}\{f(t)\}.
Neste caso há uma facilidade: \sin t é 2\pi-periódica, portanto
\sin t=\sin(t-2\pi),
e assim
\sin t\;U_{2\pi}(t)=\sin(t-2\pi)\;U_{2\pi}(t).
Aplicando a propriedade do degrau:
\mathcal{L}\{\sin t\;U_{2\pi}(t)\}=e^{-2\pi s}\,\mathcal{L}\{\sin t\}=e^{-2\pi s}\cdot\frac{1}{s^2+1},
porque \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^2+1} (nota: \mathcal{L}\{\sin at\}=\dfrac{a}{s^2+a^2}, aqui a=1).

Passo 4

Substituo no equilíbrio em s:
Y(s)(s^2+4)-s=\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+1}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{s}{s^2+4}+\frac{e^{-2\pi s}}{(s^2+1)(s^2+4)}.
Assim a solução em tempo é soma da transformada inversa da primeira parcela (termo livre, solução homogênea que ajusta as condições iniciais) e da inversa da segunda parcela (termo forçado com deslocamento).

Passo 5

Inverto a primeira parcela:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^2+4}\right\}=\cos(2t),
pois \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\dfrac{s}{s^2+4}. Logo a parte correspondente às condições iniciais é y_h(t)=\cos(2t).

Passo 6

Agora trato a segunda parcela, que tem um fator de deslocamento e^{-2\pi s}. Pela propriedade de deslocamento inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2\pi s}F(s)\}=f(t-2\pi)U_{2\pi}(t),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Logo preciso achar
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)}\right\}.

Passo 7

Faço frações parciais para \dfrac{1}{(s^2+1)(s^2+4)}. Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)}=\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s^2+4) obtemos
1=A(s^2+4)+B(s^2+1)=(A+B)s^2+(4A+B).
Igualando coeficientes:
A+B=0,\qquad 4A+B=1.
Da primeira B=-A. Substituindo na segunda: 4A-A=1\Rightarrow 3A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{3}. Então B=-\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Portanto
\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s^2+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s^2+4}.
Hoje, para inverter: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}=\sin t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+4}\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t) (porque \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=2/(s^2+4)). Assim
f(t)=\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{6}\sin(2t).

Passo 9

Aplicando agora a propriedade de deslocamento inversa (Passo 6), a transformada inversa da segunda parcela é
\left(\frac{1}{3}\sin(t-2\pi)-\frac{1}{6}\sin(2(t-2\pi))\right)U_{2\pi}(t).
Usando as identidades de periodicidade \sin(t-2\pi)=\sin t e \sin(2(t-2\pi))=\sin(2t-4\pi)=\sin(2t), obtemos uma forma mais simples:
\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{6}\sin(2t)
multiplicada por U_{2\pi}(t).

Passo 10

Juntando as partes (termo homogêneo e termo forçado deslocado), a solução completa é
y(t)=\cos(2t)+\left(\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{6}\sin(2t)\right)U_{2\pi}(t).
Isto significa: para 0\le t<2\pi tem-se y(t)=\cos(2t) (já que o degrau é zero) e para t\ge2\pi aparece o acréscimo forçado \tfrac{1}{3}\sin t-\tfrac{1}{6}\sin(2t). Boa! Você pode verificar que as condições iniciais são satisfeitas e que a solução é contínua em t=2\pi (pelo modo como foi construída).

Resposta

y(t)=\cos(2t)+\left(\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{6}\sin(2t)\right)U_{2\pi}(t)

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