Resolva, por T.L
Passo 1
O enunciado (peguei estes dados do enunciado) nos dá a equação diferencial de segunda ordem com condição inicial:
O que se pede: resolver a equação por transformada de Laplace (T.L.), isto é, encontrar
para todo
. Informação importante extraída:
é a função degrau unitário deslocada em
(ou seja,
para
e
para
).
Passo 2
Vou aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados. Lembrando a fórmula da transformada de Laplace para derivadas: se
, então
Aqui
e
. Aplicando
à equação obtemos
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Passo 3
Simplifico o lado esquerdo:
Agora preciso da transformada de
. Uso a propriedade de deslocamento no tempo: para a função
vale
Neste caso há uma facilidade:
é
-periódica, portanto
e assim
Aplicando a propriedade do degrau:
porque
(nota:
, aqui
).
Passo 4
Substituo no equilíbrio em
:
Isolando
:
Assim a solução em tempo é soma da transformada inversa da primeira parcela (termo livre, solução homogênea que ajusta as condições iniciais) e da inversa da segunda parcela (termo forçado com deslocamento).
Passo 5
Inverto a primeira parcela:
pois
. Logo a parte correspondente às condições iniciais é
.
Passo 6
Agora trato a segunda parcela, que tem um fator de deslocamento
. Pela propriedade de deslocamento inversa:
onde
. Logo preciso achar
Passo 7
Faço frações parciais para
. Procuro constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes:
Da primeira
. Substituindo na segunda:
. Então
.
Passo 8
Portanto
Hoje, para inverter:
e
(porque
). Assim
Passo 9
Aplicando agora a propriedade de deslocamento inversa (Passo 6), a transformada inversa da segunda parcela é
Usando as identidades de periodicidade
e
, obtemos uma forma mais simples:
multiplicada por
.
Passo 10
Juntando as partes (termo homogêneo e termo forçado deslocado), a solução completa é
Isto significa: para
tem-se
(já que o degrau é zero) e para
aparece o acréscimo forçado
. Boa! Você pode verificar que as condições iniciais são satisfeitas e que a solução é contínua em
(pelo modo como foi construída).