Resolver, por seried do Taylor, y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+x^{2} y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais usando série de Taylor. Dados do problema:
  • Equação diferencial: y'' - 2 x y' + x^{2} y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=-1.
O que precisamos obter: a solução y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais, construindo-a inicialmente como série de potências em torno de x=0.

Passo 2

Vamos representar y(x) por uma série de potências (série de Taylor centrada em 0):
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde a_n são coeficientes a determinar. Explique o que significa cada símbolo:
  • a_n é o coeficiente do termo x^n na expansão de y.
  • A série é uma hipótese padrão quando se pede solução por série de Taylor.
Agora escrevemos as derivadas termpor a termo (válido dentro do raio de convergência):
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
As condições iniciais traduzem-se em:
y(0)=a_0=1,\qquad y'(0)=a_1=-1.

Passo 3

Substituímos as séries na equação diferencial. Primeiro escrevemos os termos com potências [x^n) alinhadas:
  • O termo y'' já está em potências x^n:
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n.
  • O termo -2x y' é
-2x y'=-2\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n+1}=-2\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n,
onde, na última igualdade, reindexamos com n\mapsto n+1.
  • O termo x^2 y é
x^2 y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2}=\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^n.
Somando os três termos e exigindo que o coeficiente de cada potência x^n seja zero, temos para n\ge 0:
(n+2)(n+1)a_{n+2}-2n a_n + \begin{cases} 0, & n=0,1,\\\ a_{n-2}, & n\ge 2, \end{cases} =0.
Podemos compactar (definindo a_{-1}=a_{-2}=0\]) como \[(n+2)(n+1)a_{n+2}-2n a_n + a_{n-2}=0\qquad (n\ge 0).\] Isto dá a recorrência \[a_{n+2}=\frac{2n a_n - a_{n-2}}{(n+2)(n+1)}\qquad (n\ge 0),\] com \(a_0=1, a_1=-1, a_{-1}=a_{-2}=0.

Passo 4

Vamos calcular alguns coeficientes iniciais usando a recorrência — é assim que se constrói a série de Taylor na prova, passo a passo (faça mesmo assim na folha):
  • Para n=0:
a_2=\frac{2\cdot 0\cdot a_0 - a_{-2}}{2\cdot1}=0.
  • Para n=1:
a_3=\frac{2\cdot1\cdot a_1 - a_{-1}}{3\cdot2}=\frac{2(-1)-0}{6}=-\frac{1}{3}.
  • Para n=2:
a_4=\frac{2\cdot2\cdot a_2 - a_0}{4\cdot3}=\frac{0-1}{12}=-\frac{1}{12}.
  • Para n=3:
a_5=\frac{2\cdot3\cdot a_3 - a_1}{5\cdot4}=\frac{6\left(-\tfrac{1}{3}\right)-(-1)}{20}=\frac{-2+1}{20}=-\frac{1}{20}.
  • Para n=4:
a_6=\frac{2\cdot4\cdot a_4 - a_2}{6\cdot5}=\frac{8\left(-\tfrac{1}{12}\right)-0}{30}=-\frac{1}{45}.
  • Para n=5:
a_7=\frac{2\cdot5\cdot a_5 - a_3}{7\cdot6}=\frac{10\left(-\tfrac{1}{20}\right)-\left(-\tfrac{1}{3}\right)}{42}=\frac{-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}}{42}=-\frac{1}{252}.
Já temos assim a série inicial:
y(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + \cdots =1 - x + 0\cdot x^2 -\tfrac{1}{3}x^3 -\tfrac{1}{12}x^4 -\tfrac{1}{20}x^5 + \cdots.
Isso é exatamente o procedimento “por série de Taylor”: obter a recorrência e calcular coeficientes até o grau desejado.

Passo 5

Agora, para entender melhor a série e, se possível, somá-la numa forma fechada (útil na prova para reconhecer a solução explícita), podemos tentar um truque que ajuda a identificar a soma: procurar um fator exponencial que simplifique a equação. Proponha a substituição
y(x)=e^{x^2/2}\,u(x).
Isto é uma técnica legítima — não abandona a série, apenas ajuda a encontrar a forma fechada cuja série coincide com a que estamos construindo. Calcule as derivadas (mostrando passo a passo):
y' = e^{x^2/2}(u' + x u),
y'' = e^{x^2/2}\big(u'' + 2x u' + (1+x^2)u\big).
Substituindo na equação original:
y'' - 2x y' + x^2 y = e^{x^2/2}\big(u'' + 2x u' + (1+x^2)u\big) -2x e^{x^2/2}(u' + x u) + x^2 e^{x^2/2} u.
Fatorando e^{x^2/2} e simplificando os termos semelhantes:
e^{x^2/2}\big(u'' + 2x u' + (1+x^2)u -2x u' -2x^2 u + x^2 u\big) = e^{x^2/2}\big(u'' + u\big).
Portanto a equação reduz-se a
u'' + u = 0.
Muito mais simples! Esta transformação é exatamente a razão pela qual veríamos padrões simples nos coeficientes da série.

Passo 6

A equação u''+u=0 tem solução geral conhecida (equação harmônica):
u(x)=C\cos x + D\sin x,
onde C,D são constantes. Voltando para y,
y(x)=e^{x^2/2}\big(C\cos x + D\sin x\big).
Usamos as condições iniciais para determinar C e D.
Em x=0:
y(0)=e^{0}(C\cos 0 + D\sin 0)=C=1,
logo C=1.
Para y'(0) usamos y'=e^{x^2/2}(u'+ x u). Em x=0 isto é y'(0)=u'(0). Como
u'(x)=-C\sin x + D\cos x,
temos u'(0)=D. Assim y'(0)=D=-1, logo D=-1.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=e^{x^2/2}\big(\cos x - \sin x\big).

Passo 7

Conferência com a série: se expandirmos e^{x^2/2}(\cos x - \sin x) em série de Taylor no entorno de 0, os coeficientes coincidem com os a_n que obtivemos pela recorrência (pode-se verificar termo a termo). Isso confirma que a série construída no Passo 3 soma exatamente para a função encontrada no Passo 6.

Resposta

y(x)=e^{x^{2}/2}\big(\cos x - \sin x\big)

Exercícios relacionados