Resolver, por seried do Taylor,
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais usando série de Taylor. Dados do problema:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que precisamos obter: a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais, construindo-a inicialmente como série de potências em torno de
.
Passo 2
Vamos representar
por uma série de potências (série de Taylor centrada em
):
onde
são coeficientes a determinar. Explique o que significa cada símbolo:
-
é o coeficiente do termo na expansão de . - A série é uma hipótese padrão quando se pede solução por série de Taylor.
Agora escrevemos as derivadas termpor a termo (válido dentro do raio de convergência):
As condições iniciais traduzem-se em:
Passo 3
Substituímos as séries na equação diferencial. Primeiro escrevemos os termos com potências [x^n) alinhadas:
- O termo
já está em potências :
- O termo
é
onde, na última igualdade, reindexamos com
.
- O termo
é
Somando os três termos e exigindo que o coeficiente de cada potência
seja zero, temos para
:
Podemos compactar (definindo
,
,
.
Passo 4
Vamos calcular alguns coeficientes iniciais usando a recorrência — é assim que se constrói a série de Taylor na prova, passo a passo (faça mesmo assim na folha):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Já temos assim a série inicial:
Isso é exatamente o procedimento “por série de Taylor”: obter a recorrência e calcular coeficientes até o grau desejado.
Passo 5
Agora, para entender melhor a série e, se possível, somá-la numa forma fechada (útil na prova para reconhecer a solução explícita), podemos tentar um truque que ajuda a identificar a soma: procurar um fator exponencial que simplifique a equação. Proponha a substituição
Isto é uma técnica legítima — não abandona a série, apenas ajuda a encontrar a forma fechada cuja série coincide com a que estamos construindo. Calcule as derivadas (mostrando passo a passo):
Substituindo na equação original:
Fatorando
e simplificando os termos semelhantes:
Portanto a equação reduz-se a
Muito mais simples! Esta transformação é exatamente a razão pela qual veríamos padrões simples nos coeficientes da série.
Passo 6
A equação
tem solução geral conhecida (equação harmônica):
onde
são constantes. Voltando para
,
Usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Em
:
logo
.
Para
usamos
. Em
isto é
. Como
temos
. Assim
, logo
.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Passo 7
Conferência com a série: se expandirmos
em série de Taylor no entorno de
, os coeficientes coincidem com os
que obtivemos pela recorrência (pode-se verificar termo a termo). Isso confirma que a série construída no Passo 3 soma exatamente para a função encontrada no Passo 6.