Resolva as seguintes equações redutíveis a homogênea:
Passo 1
A equação dada é
. Esse tipo de EDO é de primeira ordem redutível a homogênea, pois os termos lineares têm constantes. Vamos usar uma mudança de variáveis do tipo
,
para eliminar os termos constantes.
Passo 2
Para encontrar
e
, impomos que os termos constantes somem zero no numerador e no denominador. Isso gera o sistema:
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 3
Aplicando a mudança
,
(com
,
), verificamos:
Logo a equação fica homogênea:
.
Passo 4
Reescrevendo em forma de derivada:
que é homogênea de grau zero.
Passo 5
Para equações homogêneas, usamos
, de modo que
. Substituindo, temos:
Passo 6
Isolando
e separando variáveis:
ou seja
Passo 7
Integrando e agrupando as constantes, obtemos:
Passo 8
Voltando às variáveis originais:
e
. A forma implícita da solução geral é