Resolva as seguintes equações redutíveis a homogênea:
(x+2 y-4) d x-(2 x+y-5) d y=0

Passo 1

A equação dada é (x+2y-4),dx-(2x+y-5),dy=0. Esse tipo de EDO é de primeira ordem redutível a homogênea, pois os termos lineares têm constantes. Vamos usar uma mudança de variáveis do tipo x=X+h, y=Y+k para eliminar os termos constantes.

Passo 2

Para encontrar h e k, impomos que os termos constantes somem zero no numerador e no denominador. Isso gera o sistema:
h + 2k - 4 = 0 2h + k - 5 = 0
Resolvendo, obtemos h=2 e k=1.

Passo 3

Aplicando a mudança x = X+2, y = Y+1 (com dx=dX, dy=dY), verificamos:
x+2y-4 = (X+2)+2(Y+1)-4 = X+2Y,
2x+y-5 = 2(X+2)+(Y+1)-5 = 2X+Y
Logo a equação fica homogênea: (X+2Y),dX-(2X+Y),dY=0.

Passo 4

Reescrevendo em forma de derivada:
dYdX = X+2Y2X+Y,
que é homogênea de grau zero.

Passo 5

Para equações homogêneas, usamos Y=vX, de modo que dY/dX = v + X,dv/dX. Substituindo, temos:
v + XdvdX = X+2vX2X+vX = 1+2v2+v

Passo 6

Isolando dv/dX e separando variáveis:
XdvdX = 1+2v2+v - v = 1 - v^22+v,
ou seja
2+v1-v^2,dv = dXX

Passo 7

Integrando e agrupando as constantes, obtemos:
-tfrac32ln|1-v| + tfrac12ln|1+v| = ln|X| + C

Passo 8

Voltando às variáveis originais: v = Y/X = (y-1)/(x-2) e X = x-2. A forma implícita da solução geral é
(x+y-3)(x-2)^4 = C,(x-y-1)^3

Resposta

(x+y-3)(x-2)^4 = C,(x-y-1)^3

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