Utilize a tabela a seguir, das séries de Maclaurin, para obter a série de Maclaurin das funções:
ll 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+cdots & R=1 e^x=sumn=0^infty x^nn!=1+x1!+x^22!+x^33!+cdots & R=infty sen x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots & R=infty cos x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots & R=infty tg^-1 x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+12 n+1=x-x^33+x^55-x^77+cdots & R=1 ln (1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^nn=x-x^22+x^33-x^44+cdots & R=1 (1+x)^k=sumn=0^inftybinomkn x^n=1+k x+k(k-1)2! x^2+k(k-1)(k-2)3! x^3+cdots & R=1
c) f(x)=sen^2(x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=sen^2(x). Vamos usar um truque clássico: expressar sen^2(x) em função de cos(2x) e então empregar a série de Maclaurin de cos x da tabela.

Passo 2

Lembramos da identidade trigonométrica
sen^2(x)=1-cos(2x)2
Isso reduz o problema a obter a série de Maclaurin de cos(2x).

Passo 3

Da tabela temos
cos x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
Basta trocar x por 2x, obtendo
cos(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n2^2n,x^2n(2n)!

Passo 4

Substituímos em sen^2(x)=tfrac12-tfrac12cos(2x):
sen^2(x) =12-12sumn=0^infty(-1)^n2^2n,x^2n(2n)! =sumn=0^inftyl[-12(-1)^n2^2n(2n)!r]x^2n +12
Reescrevendo o termo constante e ajustando índices, note que o termo n=0 da soma dá -tfrac12, que se cancela com +tfrac12. Assim os termos sobreviventes começam em n=1.

Passo 5

Para n>=1 temos coeficiente
-12(-1)^n2^2n(2n)! =(-1)^n-12^2n-1(2n)!
Logo
sen^2(x) =sumn=1^infty(-1)^n-12^2n-1(2n)!,x^2n
Podemos também listar os primeiros termos explicitamente:
sen^2(x) =x^2-x^43+2,x^645-x^8315+cdots

Resposta

sen^2(x) =sumn=1^infty(-1)^n-12^2n-1(2n)!,x^2n =x^2-x^43+2,x^645-x^8315+cdots

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