Queremos encontrar w(x,t) para x\ge 0,\; t\ge 0 (assumindo domínio padrão de problemas deste tipo). Não iniciamos a resolução aqui; apenas listei o que está dado e o que é pedido.
Passo 2
Primeira etapa da resolução efetiva: aplicamos a transformada de Laplace em t à equação. Definimos a transformada de Laplace de w(x,t) por
Agora usamos a condição de contorno na transformada: W(0,s)=\mathcal{L}\{w(0,t)\}= \mathcal{L}\{1\}=1/s. E \mu(0)=1. Logo a constante é \mu(0)W(0,s)=1/s.
Calculamos a integral à direita. Substitua \mu(\xi)=e^{s\xi^2/2}:
\int_{0}^{x}\xi\,e^{s\xi^2/2}\,d\xi.
Fazemos a substituição u=\dfrac{s\xi^2}{2}, então du = s\xi\,d\xi, portanto \xi\,d\xi = du/s. Os limites vão de u=0 até u=\dfrac{s x^2}{2}. Assim
Logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+1}{s^2}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^2}\right\} = 1 + t.
Para a segunda parcela usamos o teorema do deslocamento no tempo (teorema de Heaviside): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde H é a função degrau unitário e a\ge 0. Aqui temos F(s)=1/s^2 cujo inverso é f(t)=t, e o fator exponencial é e^{-a s} com a=\dfrac{x^2}{2}. Portanto
Para x=0: se x=0 então \dfrac{x^2}{2}=0 e para t>0 a segunda linha dá 1+0=1; para t=0 também 1. Logo w(0,t)=1 (ok).
Também é fácil ver que a solução é contínua em t=\dfrac{x^2}{2}: usando a primeira expressão em t\to (x^2/2)^- obtemos 1+\dfrac{x^2}{2}, igual à segunda expressão.]