Isto ocorre quando uma EDP envolve derivadas em relação a somente uma variável (ou quando é possível passar a EDP para essa forma)
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para
:
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as funções
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve a derivada parcial de segunda ordem de
em relação a , denotada por . - A igualdade vale para todos os pontos
do domínio considerado (assumimos domínio onde as derivadas existem). - Não foram dadas condições iniciais ou de contorno; portanto a solução geral deve conter funções arbitrárias (parametrizadas por
) que serão determinadas só se condições adicionais forem fornecidas.
Passo 2
Por que podemos tratar o problema como um problema em
com
visto como parâmetro? Aqui uma explicação didática: a equação só envolve derivadas em relação a
. Isso significa que, para cada valor fixo de
, a função
satisfaz uma equação ordinária em
. Em termos simples: se você congelar
, a equação vira uma equação diferencial ordinária (EDO) em
. Ao integrar uma EDO em
, as “constantes de integração” podem depender de
(porque
foi tratado como parâmetro), então aparecerão funções de
. Esse é o ponto-chave para entender por que a solução geral terá funções arbitrárias de
.
Passo 3
Vamos integrar a equação uma vez em relação a
. A equação é
Interpretando como derivada segunda em
, se
então a derivada primeira em
não depende de
. Logo existe uma função (que pode depender de
) tal que
onde
é uma função arbitrária de
. Obs.: aqui escrevemos
. A justificativa é a mesma que para EDOs: se
então
é constante; aqui a “constante” pode variar com
, por isso escrevemos
.
Passo 4
Agora integramos novamente em relação a
. Partimos de
Integramos ambas as mãos em relação a
(lembrando que
é tratado como constante quando integramos em
):
Como
não depende de
, a integral é simplesmente
. O termo
é a “constante” de integração que pode depender de
. Assim obtemos a forma geral
onde
e
são funções arbitrárias de
. Esta é a solução geral da equação dada.
Passo 5
Verificação rápida (sempre faça isso numa prova): calcule
a partir da solução proposta. Temos
. Primeiro
. Derivando novamente em
,
pois
não depende de
. Logo a solução satisfaz a equação original, verificação concluída.
Passo 6
Exemplo concreto para aprender a aplicar: suponha que nos dêem condições
e
. Como
, temos
. Como
, obtemos
. Portanto a solução particular seria
Esse exemplo ilustra como as funções
e
são determinadas por condições adicionais.
Passo 7
Observações finais e intuição: a equação
diz que, para cada
fixo, a curva
é uma reta (afim) em
. O coeficiente angular e o termo independente dessa reta podem depender de
, daí a forma
. Isso resolve o problema de forma geral.
Resposta
onde
e
são funções arbitrárias de
.