Isto ocorre quando uma EDP envolve derivadas em relação a somente uma variável (ou quando é possível passar a EDP para essa forma)
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para u=u(x, y) :
u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as funções u=u(x,y) que satisfazem a equação
u_{yy}=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função u(x,y).
  • A equação envolve a derivada parcial de segunda ordem de u em relação a y, denotada por u_{yy}.
  • A igualdade vale para todos os pontos (x,y) do domínio considerado (assumimos domínio onde as derivadas existem).
  • Não foram dadas condições iniciais ou de contorno; portanto a solução geral deve conter funções arbitrárias (parametrizadas por x) que serão determinadas só se condições adicionais forem fornecidas.

Passo 2

Por que podemos tratar o problema como um problema em y com x visto como parâmetro? Aqui uma explicação didática: a equação só envolve derivadas em relação a y. Isso significa que, para cada valor fixo de x, a função y\mapsto u(x,y) satisfaz uma equação ordinária em y. Em termos simples: se você congelar x, a equação vira uma equação diferencial ordinária (EDO) em y. Ao integrar uma EDO em y, as “constantes de integração” podem depender de x (porque x foi tratado como parâmetro), então aparecerão funções de x. Esse é o ponto-chave para entender por que a solução geral terá funções arbitrárias de x.

Passo 3

Vamos integrar a equação uma vez em relação a y. A equação é
u_{yy}(x,y)=0.
Interpretando como derivada segunda em y, se \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 então a derivada primeira em y não depende de y. Logo existe uma função (que pode depender de x) tal que
u_y(x,y)=A(x),
onde A(x) é uma função arbitrária de x. Obs.: aqui escrevemos u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}. A justificativa é a mesma que para EDOs: se v'(y)=0 então v é constante; aqui a “constante” pode variar com x, por isso escrevemos A(x).

Passo 4

Agora integramos novamente em relação a y. Partimos de
u_y(x,y)=A(x).
Integramos ambas as mãos em relação a y (lembrando que A(x) é tratado como constante quando integramos em y):
u(x,y)=\int A(x)\,dy + B(x).
Como A(x) não depende de y, a integral é simplesmente A(x)\,y. O termo B(x) é a “constante” de integração que pode depender de x. Assim obtemos a forma geral
u(x,y)=A(x)\,y + B(x),
onde A(x) e B(x) são funções arbitrárias de x. Esta é a solução geral da equação dada.

Passo 5

Verificação rápida (sempre faça isso numa prova): calcule u_{yy} a partir da solução proposta. Temos u(x,y)=A(x)\,y + B(x). Primeiro u_y(x,y)=A(x). Derivando novamente em y,
u_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}A(x)=0,
pois A(x) não depende de y. Logo a solução satisfaz a equação original, verificação concluída.

Passo 6

Exemplo concreto para aprender a aplicar: suponha que nos dêem condições u(x,0)=\sin x e u_y(x,0)=x^2. Como u_y(x,y)=A(x), temos A(x)=u_y(x,0)=x^2. Como u(x,0)=A(x)\cdot 0 + B(x)=B(x), obtemos B(x)=\sin x. Portanto a solução particular seria
u(x,y)=x^2\,y + \sin x.
Esse exemplo ilustra como as funções A(x) e B(x) são determinadas por condições adicionais.

Passo 7

Observações finais e intuição: a equação u_{yy}=0 diz que, para cada x fixo, a curva y\mapsto u(x,y) é uma reta (afim) em y. O coeficiente angular e o termo independente dessa reta podem depender de x, daí a forma u(x,y)=A(x)y+B(x). Isso resolve o problema de forma geral.

Resposta

u(x,y)=A(x)\,y + B(x),
onde A(x) e B(x) são funções arbitrárias de x.

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