Resolva por transformadas de Laplace
x \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t, \quad w(x, 0)=0 se x \geqq 0, w(0, t)=0 se t \geqq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial e as condições de contorno/iniciais. Escrevendo tudo claramente:
x\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=xt,
w(x,0)=0\quad\text{para }x\ge 0,
w(0,t)=0\quad\text{para }t\ge 0.
O que nos pedem: determinar a função w(x,t) que satisfaz a equação e as condições dadas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear e de primeira ordem em t e x.
  • As condições iniciais/contorno são homogêneas (valem zero) em t=0 e em x=0.
  • Podemos aplicar transformada de Laplace em t porque as condições iniciais em t estão definidas em t=0.

Passo 2

Definimos a transformada de Laplace em relação a t da função w(x,t):
W(x,s)=\mathcal{L}\{w(x,t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}w(x,t)\,dt,
com s>0.
Agora aplicamos a transformada em t à equação. Precisamos das propriedades básicas:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\} = a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Derivada em t: \mathcal{L}\{w_t\}=sW(x,s)-w(x,0). Aqui w(x,0)=0, então \mathcal{L}\{w_t\}=sW(x,s).
  • Para o termo do lado direito, \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}. Como o termo é x t (com x tratado como parâmetro), temos \mathcal{L}\{xt\}=x\cdot 1/s^{2}.
Aplicando a transformada em cada termo da equação original obtemos:
x\frac{\partial}{\partial x}W(x,s)+sW(x,s)=\frac{x}{s^{2}}.
Aqui transformamos a PDE em uma equação diferencial ordinária em x para a função W(x,s).

Passo 3

Resolver a EDO em x. Escrevemos a equação de forma padrão:
x\frac{\partial W}{\partial x}+sW=\frac{x}{s^{2}}.
Dividindo por x (para x>0; trataremos x=0 pela condição de contorno):
\frac{\partial W}{\partial x}+\frac{s}{x}W=\frac{1}{s^{2}}.
Isto é uma EDO linear de primeira ordem do tipo \displaystyle W_x + p(x)W = q(x), com p(x)=s/x e q(x)=1/s^{2}. A técnica padrão é o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{s}{x}\,dx\right)=\exp\!(s\ln x)=x^{s}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{s}W\big)=x^{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}.
Integramos em x:
x^{s}W(x,s)=\frac{1}{s^{2}}\int x^{s}\,dx + C(s).
A integral é simples:
\int x^{s}\,dx=\frac{x^{s+1}}{s+1}\quad(\text{assumindo }s\neq -1),
logo
x^{s}W(x,s)=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{x^{s+1}}{s+1}+C(s).
Dividindo por x^{s} temos a solução geral:
W(x,s)=\frac{x}{s^{2}(s+1)}+C(s)\,x^{-s}.

Passo 4

Usar a condição de contorno em x. Sabemos que w(0,t)=0 para t\ge0. Tomando transformada em t W(0,s)=0. Avaliando a expressão para W em x=0:
O primeiro termo \dfrac{x}{s^{2}(s+1)} vale zero em x=0. O segundo termo é C(s)x^{-s}. Para s>0 (região de convergência da transformada de Laplace) o fator x^{-s} diverge quando x\to 0^{+} a menos que C(s)=0. Para que W(0,s) seja finito (igual a 0), devemos ter
C(s)=0.
Portanto
W(x,s)=\frac{x}{s^{2}(s+1)}.

Passo 5

Agora voltamos ao domínio t aplicando a transformada inversa. Precisamos inverter
W(x,s)=x\cdot\frac{1}{s^{2}(s+1)}.
Como x é parâmetro, fazemos a transformada inversa só do fator em s. Decompondo em frações parciais:
Procuramos A,B,C tais que
\frac{1}{s^{2}(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+1}.
Multiplicando por s^{2}(s+1) obtemos
1=A s(s+1)+B(s+1)+C s^{2}.
Expandindo:
1=(A+C)s^{2}+(A+B)s+B.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de s^{2}: A+C=0 \Rightarrow C=-A.
  • Coeficiente de s: A+B=0 \Rightarrow B=-A.
  • Termo constante: B=1 \Rightarrow -A=1 \Rightarrow A=-1.
Logo A=-1, B=1, C=1. Portanto
\frac{1}{s^{2}(s+1)}=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s+1}.
Aplicando transformada inversa (recordando que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}) obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}(s+1)}\right\}=-1+t+e^{-t}.
Multiplicando pelo parâmetro x, a solução no domínio t é:
w(x,t)=x\bigl(t-1+e^{-t}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (confiança extra): calcular w(x,0) e w(0,t) e verificar a equação.
  • w(x,0)=x(0-1+1)=0 então satisfaz w(x,0)=0.
  • w(0,t)=0 trivial.
  • Derivadas: \displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}=x(1-e^{-t}) e \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=t-1+e^{-t}. Então
x\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x\bigl(t-1+e^{-t}\bigr)+x(1-e^{-t})=xt,
que coincide com o lado direito da PDE. Tudo conferido.

Resposta

w(x,t)=x\bigl(t-1+e^{-t}\bigr)

Exercícios relacionados