Resolva por transformadas de Laplace
se
,
se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial e as condições de contorno/iniciais. Escrevendo tudo claramente:
O que nos pedem: determinar a função
que satisfaz a equação e as condições dadas.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear e de primeira ordem em
e . - As condições iniciais/contorno são homogêneas (valem zero) em
e em . - Podemos aplicar transformada de Laplace em
porque as condições iniciais em estão definidas em .
Passo 2
Definimos a transformada de Laplace em relação a
da função
:
com
.
Agora aplicamos a transformada em
à equação. Precisamos das propriedades básicas:
- Linearidade:
. - Derivada em
: . Aqui , então . - Para o termo do lado direito,
. Como o termo é (com tratado como parâmetro), temos .
Aplicando a transformada em cada termo da equação original obtemos:
Aqui transformamos a PDE em uma equação diferencial ordinária em
para a função
.
Passo 3
Resolver a EDO em
. Escrevemos a equação de forma padrão:
Dividindo por
(para
; trataremos
pela condição de contorno):
Isto é uma EDO linear de primeira ordem do tipo
, com
e
. A técnica padrão é o fator integrante:
Multiplicando a EDO por
obtemos:
Integramos em
:
A integral é simples:
logo
Dividindo por
temos a solução geral:
Passo 4
Usar a condição de contorno em
. Sabemos que
para
. Tomando transformada em
dá
. Avaliando a expressão para
em
:
O primeiro termo
vale zero em
. O segundo termo é
. Para
(região de convergência da transformada de Laplace) o fator
diverge quando
a menos que
. Para que
seja finito (igual a
), devemos ter
Portanto
Passo 5
Agora voltamos ao domínio
aplicando a transformada inversa. Precisamos inverter
Como
é parâmetro, fazemos a transformada inversa só do fator em
. Decompondo em frações parciais:
Procuramos tais que
Procuramos
Multiplicando por
obtemos
Expandindo:
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Logo
,
,
. Portanto
Aplicando transformada inversa (recordando que
,
,
) obtemos
Multiplicando pelo parâmetro
, a solução no domínio
é:
Passo 6
Verificação rápida (confiança extra): calcular
e
e verificar a equação.
-
então satisfaz . -
trivial. - Derivadas:
e . Então
que coincide com o lado direito da PDE. Tudo conferido.