Isto ocorre quando uma EDP envolve derivadas em relação a somente uma variável (ou quando é possível passar a EDP para essa forma)
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para u=u(x, y) :
u_{x x}=u

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função u=u(x,y) que satisfaz a equação diferencial parcial
u_{x x}=u.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação envolve apenas derivadas em relação a x (a derivada segunda de u em x é igual a u).
  • Não foram dadas condições iniciais/contorno, então o objetivo é obter a solução geral.
  • A variável y aparece, mas não há derivadas em relação a y; portanto y poderá agir como parâmetro.

Passo 2

Entendendo o que é u_{x x}: isso significa a derivada parcial segunda de u em relação a x, ou seja, derivamos duas vezes em x mantendo y fixo. Como não há derivadas em y, para cada valor fixo de y a equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) em x. Então a estratégia é tratar y como parâmetro e resolver a EDO em x para obter a solução geral, lembrando que as constantes de integração podem depender de y.

Passo 3

Escrevemos a equação como uma EDO em x (para cada y fixo):
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - u = 0.
Isto é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (em x). O método padrão é procurar soluções da forma u(x,y)=C(y)\,e^{r x}, onde C(y) é uma função de y (a “constante” de integração que pode depender do parâmetro y) e r é um número a determinar.

Passo 4

Substituindo u(x,y)=C(y)\,e^{r x} na EDO:
  • Calculamos \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=r^2 C(y) e^{r x}.
  • Substituindo em \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-u=0 obtemos
r^2 C(y) e^{r x} - C(y) e^{r x} = 0.
Fatorando C(y)e^{r x} (não nulo se quisermos solução não trivial) vem a equação característica
r^2 - 1 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação característica obtemos r=\pm 1. Portanto duas soluções independentes (em x) são e^{x} e e^{-x}. Pela linearidade da EDO, a solução geral (para cada y fixo) é combinação linear dessas soluções, com coeficientes que podem depender de y. Assim
u(x,y)=A(y)\,e^{x}+B(y)\,e^{-x},
onde A(y) e B(y) são funções arbitrárias de y. Explico: numa EDO de segunda ordem temos duas constantes de integração; ao tratar y como parâmetro, essas “constantes” tornam-se funções de y.

Passo 6

Vamos checar que a solução encontrada realmente satisfaz a EDP. Calculemos as derivadas em x:
  • \displaystyle u_x = A(y)\,e^{x} - B(y)\,e^{-x},
  • \displaystyle u_{x x} = A(y)\,e^{x} + B(y)\,e^{-x}.
    Observando a expressão de u,
u(x,y)=A(y)\,e^{x}+B(y)\,e^{-x},
vemos que de fato
u_{x x}=A(y)\,e^{x}+B(y)\,e^{-x}=u,
portanto a solução satisfaz a equação.

Passo 7

Se em prova der condições iniciais do tipo valor e derivada em x=0 (condições de Cauchy em x), por exemplo
u(0,y)=f(y),\qquad u_x(0,y)=g(y),
podemos determinar A(y) e B(y) resolvendo o sistema
A(y)+B(y)=f(y),
A(y)-B(y)=g(y).
Somando e subtraindo as equações obtemos
A(y)=\tfrac{1}{2}\bigl(f(y)+g(y)\bigr),\qquad B(y)=\tfrac{1}{2}\bigl(f(y)-g(y)\bigr).
Assim, com essas condições, a solução fica
u(x,y)=\tfrac{1}{2}\bigl(f(y)+g(y)\bigr)e^{x}+\tfrac{1}{2}\bigl(f(y)-g(y)\bigr)e^{-x}.

Resposta

u(x,y)=A(y)\,e^{x}+B(y)\,e^{-x}

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