Isto ocorre quando uma EDP envolve derivadas em relação a somente uma variável (ou quando é possível passar a EDP para essa forma)
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para
:
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial parcial
Informações dadas que vamos usar:
- A equação envolve apenas derivadas em relação a
(a derivada segunda de em é igual a ). - Não foram dadas condições iniciais/contorno, então o objetivo é obter a solução geral.
- A variável
aparece, mas não há derivadas em relação a ; portanto poderá agir como parâmetro.
Passo 2
Entendendo o que é
: isso significa a derivada parcial segunda de
em relação a
, ou seja, derivamos duas vezes em
mantendo
fixo. Como não há derivadas em
, para cada valor fixo de
a equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) em
. Então a estratégia é tratar
como parâmetro e resolver a EDO em
para obter a solução geral, lembrando que as constantes de integração podem depender de
.
Passo 3
Escrevemos a equação como uma EDO em
(para cada
fixo):
Isto é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (em
). O método padrão é procurar soluções da forma
, onde
é uma função de
(a “constante” de integração que pode depender do parâmetro
) e
é um número a determinar.
Passo 4
Substituindo
na EDO:
- Calculamos
. - Substituindo em
obtemos
Fatorando
(não nulo se quisermos solução não trivial) vem a equação característica
Passo 5
Resolvendo a equação característica obtemos
. Portanto duas soluções independentes (em
) são
e
. Pela linearidade da EDO, a solução geral (para cada
fixo) é combinação linear dessas soluções, com coeficientes que podem depender de
. Assim
onde
e
são funções arbitrárias de
. Explico: numa EDO de segunda ordem temos duas constantes de integração; ao tratar
como parâmetro, essas “constantes” tornam-se funções de
.
Passo 6
Vamos checar que a solução encontrada realmente satisfaz a EDP. Calculemos as derivadas em
:
-
, -
Observando a expressão de,
vemos que de fato
portanto a solução satisfaz a equação.
Passo 7
Se em prova der condições iniciais do tipo valor e derivada em
(condições de Cauchy em
), por exemplo
podemos determinar
e
resolvendo o sistema
Somando e subtraindo as equações obtemos
Assim, com essas condições, a solução fica