Resolva para u=u(x, y) :
y^{2} u_{y y}+2 y u_{y}-2 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y^{2}\,u_{yy}+2\,y\,u_{y}-2\,u=0
onde u=u(x,y). Note que não há derivadas em x, então para cada x fixo a equação em y é uma equação de Euler–Cauchy (equidimensional) de segunda ordem.

Passo 2

Para resolver a equação de Euler–Cauchy, assumimos uma solução do tipo
u(x,y)=A(x)\,y^{\lambda},
onde A(x) é uma função arbitrária de x e \lambda é constante a determinar. Calculamos as derivadas em y:
u_{y}=A(x)\,\lambda\,y^{\lambda-1}, \qquad u_{yy}=A(x)\,\lambda(\lambda-1)\,y^{\lambda-2}.

Passo 3

Substituindo em
y^{2}u_{yy}+2y\,u_{y}-2u=0
obtemos
y^{2}\bigl[A(x)\,\lambda(\lambda-1)\,y^{\lambda-2}\bigr] +2y\bigl[A(x)\,\lambda\,y^{\lambda-1}\bigr] -2\bigl[A(x)\,y^{\lambda}\bigr]=0.
Fatorando A(x)\,y^{\lambda}, isso vira
A(x)\,y^{\lambda}\bigl[\lambda(\lambda-1)+2\lambda-2\bigr]=0.
Como A(x)\,y^{\lambda}\neq0 em geral, a parte entre colchetes deve ser zero, gerando a equação característica
\lambda(\lambda-1)+2\lambda-2=0 \;\Longrightarrow\; \lambda^{2}+\lambda-2=0.

Passo 4

Resolvendo \lambda^{2}+\lambda-2=0 por Bhaskara:
\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2} =\frac{-1\pm3}{2},
logo os dois valores são
\lambda_{1}=1, \qquad \lambda_{2}=-2.
Como a equação é linear e homogênea, a solução geral em y é combinação linear dos dois modos de potência.

Resposta

\boxed{u(x,y)=A(x)\,y + B(x)\,y^{-2},}
onde A(x) e B(x) são funções arbitrárias de x.

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