Resolva para u=u(x, y) :
u_{y}=(\operatorname{cosh} x) y u

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem em derivada parcial
u_{y} = (\operatorname{cosh} x)\,y\,u,
isto é, para cada x fixo, devemos tratar \partial u/\partial y como uma equação diferencial ordinária em y.

Passo 2

Para cada x fixo, escrevemos
\frac{\partial u}{\partial y} = (\operatorname{cosh} x)\,y\,u
como uma ODE separável em y. Podemos separar as variáveis dividindo por u e multiplicando por \d y:
\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}\,\d y = (\operatorname{cosh} x)\,y\,\d y.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a y. No lado esquerdo,
\int \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}\,\d y = \int \d(\ln|u|) = \ln|u|.
No lado direito, \operatorname{cosh} x é constante em relação a y, logo
\int (\operatorname{cosh} x)\,y\,\d y = (\operatorname{cosh} x)\,\frac{y^2}{2} + C(x),
onde C(x) é a “constante” de integração que pode depender de x.

Passo 4

Igualando as integrais,
\ln|u| = \frac{\operatorname{cosh} x}{2}\,y^2 + C(x).
Exponentiando, obtemos
u(x,y) = \exp\bigl(C(x)\bigr)\,\exp\!\Bigl(\tfrac{\operatorname{cosh} x}{2}\,y^2\Bigr).
Definindo f(x)=\exp\bigl(C(x)\bigr), que é uma função arbitrária de x, chegamos à solução geral.

Resposta

u(x,y) = f(x)\,\exp\!\Bigl(\tfrac{y^2}{2}\,\operatorname{cosh} x\Bigr),
onde f(x) é uma função arbitrária de x.

Exercícios relacionados