Resolva para u=u(x, y) :
u_{y}=2 x y u

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função u=u(x,y) que satisfaz à equação de derivada parcial
u_{y}=2\,x\,y\,u.
Aqui o conteúdo é resolução de uma equação diferencial em que a derivada é tomada em relação a y, tratando x como constante.

Passo 2

Visto que x é constante ao derivar em y, reconhecemos uma EDO do tipo
\frac{\partial u}{\partial y}=2\,x\,y\,u.
Podemos usar separação de variáveis, escrevendo
\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}=2\,x\,y.

Passo 3

Integramos em y em ambos os lados:
\int \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}\,dy =\int 2\,x\,y\,dy.
O lado esquerdo dá \ln|u| e o direito dá x\,y^2, mais uma função de integração que depende apenas de x:
\ln|u| = x\,y^2 + C(x).

Passo 4

Exponentiando, obtemos
u = \exp\bigl(x\,y^2 + C(x)\bigr) = e^{C(x)}\,e^{x\,y^2}.
Como e^{C(x)} é uma função arbitrária de x, denote-a por F(x).

Resposta

A solução geral da equação é
u(x,y)=F(x)\,e^{x\,y^2},
onde F(x) é uma função arbitrária de x.

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