Resolva usando coeficentes a determinar por anuladores:
P V I=\left\{\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+6 \frac{d y}{d t}+9 y=x e^{-3 x} \\\ y(0)=0 \\\ \frac{d y}{d t}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações:
  • Equação diferencial: \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+6\dfrac{dy}{dt}+9y = x e^{-3x}.
  • Condições iniciais: y(0)=0 e \dfrac{dy}{dt}(0)=1.
O que o enunciado pede: encontrar a função y que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.
Observação sobre notação: a equação usa derivadas em relação a t no lado esquerdo e x no lado direito. Vou assumir que a variável independente é x ao longo de toda a resolução (ou seja, interpretar t como x), e então resolver
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+6\frac{dy}{dx}+9y = x e^{-3x},\qquad y(0)=0,\quad y'(0)=1.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar y_h.
A equação homogênea é
y''+6y'+9y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^{2}+6r+9=0.
Essa quadrática fatora como
(r+3)^{2}=0,
portanto r=-3 é raiz dupla (multiplicidade 2). Para uma raiz dupla -3, a solução geral da homogênea é
y_h = (C_1 + C_2 x)e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicando curtinho o porquê: raiz dupla dá duas soluções linearmente independentes e^{-3x} e x e^{-3x}, daí a combinação acima.

Passo 3

Escolher a forma de uma solução particular y_p para o termo forçante x e^{-3x} usando o método dos anuladores (coeficientes a determinar) e uma simplificação prática.
Ideia do anulador (explicação didática):
  • Para um termo da forma p_n(x)e^{ax}, onde p_n é polinômio de grau n, um operador diferencial que anula esse termo é (D-a)^{n+1}, onde D=\dfrac{d}{dx}.
  • Aqui o termo é x e^{-3x}, então a=-3 e n=1. Um anulador é (D+3)^{2}.
  • Note que o operador associado à homogênea é também (D+3)^{2}. Isso indica ressonância: precisamos multiplicar a tentativa usual por x^{s}, onde s é a multiplicidade (aqui s=2). Portanto uma tentativa direta daria y_p=(Ax^3+Bx^2)e^{-3x}. Mas existe uma forma muito mais limpa de chegar ao y_p: fazer a substituição y=u(x)e^{-3x} e simplificar a equação.
Fazer a substituição y=u e^{-3x}. Vamos calcular y' e y'' em termos de u:
y = u e^{-3x},
y' = (u' - 3u)e^{-3x},
y'' = (u'' - 6u' + 9u)e^{-3x}.
Agora substituímos na equação y''+6y'+9y:
y''+6y'+9y = \bigl(u'' -6u' +9u\bigr)e^{-3x} + 6\bigl(u' -3u\bigr)e^{-3x} + 9u e^{-3x}.
Agrupando os coeficientes dentro do colchete:
u'' -6u' +9u +6u' -18u +9u = u''.
Logo obtemos a identidade importante (muito útil quando o operador é (D+3)^2):
y''+6y'+9y = u''(x)\, e^{-3x}.
Esta simplificação mostra que a equação original se reduz a uma equação simples para u:
u''(x)\, e^{-3x} = x e^{-3x}.
Cancelando e^{-3x} (sempre positivo, não anulamos nada):
u''(x)=x.
Esse é um passo-chave: a substituição transformou o problema de achar y_p em integrar duas vezes uma função simples.

Passo 4

Resolver u''(x)=x por integração para obter u, e recuperar y_p.
Integramos uma vez:
u'(x)=\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + A,
onde A é constante de integração.
Integramos de novo:
u(x)=\int\left(\frac{x^{2}}{2}+A\right)dx = \frac{x^{3}}{6} + A x + B,
onde B é outra constante de integração.
Lembrando que y=u e^{-3x}, qualquer termo A x + B em u produzirá, ao multiplicar por e^{-3x}, termos da solução homogênea (C_1 + C_2 x)e^{-3x}. Portanto para obter uma solução particular y_p podemos escolher A=B=0 (isso corresponde a pegar apenas uma solução particular entre muitas). Assim tomamos
u_p(x)=\frac{x^{3}}{6},
e daí
y_p(x)=u_p(x) e^{-3x} = \frac{x^{3}}{6}e^{-3x}.
Verificação rápida (só pra ficar seguro): como u_p''=x, então y_p''+6y_p'+9y_p = u_p'' e^{-3x} = x e^{-3x}, que é exatamente o lado direito.

Passo 5

Formar a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h+y_p = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-3x} + \frac{x^{3}}{6}e^{-3x}.
Podemos escrever de forma combinada:
y(x)=\left(C_1 + C_2 x + \frac{x^{3}}{6}\right)e^{-3x}.
Agora calculamos y'(x) para aplicar y(0)=0 e y'(0)=1. Primeiro derivada (usar produto e a derivada de x^3/6 que é x^2/2):
y'(x)=\left(C_2 + \frac{x^{2}}{2}\right)e^{-3x} -3\left(C_1 + C_2 x + \frac{x^{3}}{6}\right)e^{-3x}.
Agrupando em um único fator e^{-3x}:
y'(x)=e^{-3x}\left(-3C_1 + C_2 -3C_2 x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{2}\right).
Aplicar as condições iniciais em x=0:
  • De y(0)=0 obtemos
y(0)=\bigl(C_1 + 0 + 0\bigr)e^{0}=C_1=0.
  • De y'(0)=1 obtemos (substituindo x=0 e C_1=0):
y'(0)=e^{0}\bigl(-3\cdot 0 + C_2 + 0 + 0 + 0\bigr)=C_2=1.
Assim C_1=0 e C_2=1. Substituindo na solução geral:
y(x)=\left(0 + 1\cdot x + \frac{x^{3}}{6}\right)e^{-3x} = \left(x + \frac{x^{3}}{6}\right)e^{-3x}.

Resposta

\displaystyle y(x)=\left(x+\frac{x^{3}}{6}\right)e^{-3x}

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