Resolva usando as coordenadas, que forem mais apropriadas, cilíndricas ou esféricas.
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 z^2 d z d x d y

Passo 1

O exercício pede para calcular o integral triplo integral0^2integral0^raiz4-y^2integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 z^2,dz,dx,dy, que é uma aplicação de mudanças de coordenadas em integrais de volume, mais especificamente coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A região em projeção no plano xy é o quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante. Em coordenadas cilíndricas temos as variáveis (r,theta,z) com r>=0, 0<=theta<=tfracpi2 e 0<= r<=2. As superfícies que limitam em z são z=r (parte inferior) e z=raiz8-r^2 (parte superior).
Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz e a integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=r^raiz8-r^2 z^2,r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralz=r^raiz8-r^2 z^2,dz = gl[z^33gr]z=r^z=raiz8-r^2 = (8-r^2)^3/23 - r^33

Passo 4

Logo a integral total torna-se
integral0^pi/2dtheta ;integral0^2 rl((8-r^2)^3/23-r^33r)dr = pi2cdot13integral0^2l[r(8-r^2)^3/2-r^4r]dr

Passo 5

Separemos em duas integrais:
I1=integral0^2r(8-r^2)^3/2dr, I2=integral0^2r^4dr

Passo 6

Para I1, fazemos u=8-r^2, du=-2r,dr, e obtém-se
I1=integralr=0^2r(8-r^2)^3/2dr = 15l[(8)^5/2-(4)^5/2r] = 15(128raiz2-32)

Passo 7

Para I2 temos uma integral polinomial simples:
I2=integral0^2r^4dr = l[r^55r]0^2 = 325

Passo 8

Substituindo de volta e multiplicando pelo fator que sobrou:
pi6l(I1-I2r) = pi6l(128raiz2-325-325r) = pi30(128raiz2-64) = 32pi15(2raiz2-1)

Resposta

32pi15(2raiz2-1)

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