Resolva usando as coordenadas, que forem mais apropriadas, cilíndricas ou esféricas.
Passo 1
O exercício pede para calcular o integral triplo
, que é uma aplicação de mudanças de coordenadas em integrais de volume, mais especificamente coordenadas cilíndricas.
Passo 2
A região em projeção no plano
é o quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante. Em coordenadas cilíndricas temos as variáveis
com
,
e
. As superfícies que limitam em
são
(parte inferior) e
(parte superior).
Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é e a integral fica
Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Passo 4
Logo a integral total torna-se
Passo 5
Separemos em duas integrais:
Passo 6
Para
, fazemos
,
, e obtém-se
Passo 7
Para
temos uma integral polinomial simples:
Passo 8
Substituindo de volta e multiplicando pelo fator que sobrou: