Encontre o polinômio interpolador e estime o erro máximo cometido ao calcular f(0.52) usando um P2(0.52), com f(x)=2 x e^x onde foram usados os pontos de interpolação:
|c|c|c|c|c|c| hline$x$ & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 hline$f(x)=2 x e^x$ & 0,8099 & 1,1935 & 1,6487 & 2,1865 & 2,8193 hline 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0,8099 1,1935 1,6487 2,1865 2,8193

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o polinômio interpolador de grau 2, chamado $ P_2(x) $, para a função $ f(x) = 2x e^{x} $ usando alguns pontos dados. Além disso, precisamos estimar o valor de $ f(0.52) $ usando esse polinômio e calcular o erro máximo dessa estimativa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de interpolaçao de polinômios, que nos permite aproximar uma função por meio de um polinômio que passa exatamente por certos pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher 3 pontos de interpolação dentre os fornecidos, já que estamos buscando um polinômio de grau 2 (que tem 3 coeficientes). Vamos escolher os pontos mais próximos de $ x = 0.52 $ para melhorar a precisão. Observando a tabela, os pontos mais próximos são $ x = 0.4 $, $ x = 0.5 $ e $ x = 0.6 $.

Passo 3

Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio $ P_2(x) = a x^2 + b x + c $. Sabemos que $ P_2(x_i) = f(x_i) $ para cada um dos pontos escolhidos.
Para $ x = 0.4 $:
P2(x) = a x^2 + b x + c
Para $ x = 0.5 $:
P2(xi) = f(xi)
Para $ x = 0.6 $:
x = 0.4

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, simplificamos cada equação:
  1. $ 0.16a + 0.4b + c = 1.1935 $
  2. $ 0.25a + 0.5b + c = 1.6487 $
  3. $ 0.36a + 0.6b + c = 2.1865 $
Subtraindo a primeira equação da segunda:
0.16a + 0.4b + c = 1.1935
Subtraindo a segunda equação da terceira:
0.25a + 0.5b + c = 1.6487
Agora temos um sistema com duas equações:
0.36a + 0.6b + c = 2.1865
Subtraindo a primeira dessa nova set:
(0.25a - 0.16a) + (0.5b - 0.4b) + (c - c) = 1.6487 - 1.1935 Rightarrow 0.09a + 0.1b = 0.4552
Agora, substituindo $ a = 4.13 $ na primeira equação:
(0.36a - 0.25a) + (0.6b - 0.5b) + (c - c) = 2.1865 - 1.6487 Rightarrow 0.11a + 0.1b = 0.5378
Finalmente, substituímos $ a $ e $ b $ em uma das equações originais para encontrar $ c $. Usando a primeira:
0.09a + 0.1b = 0.4552 0.11a + 0.1b = 0.5378

Passo 5

Agora temos o polinômio interpolador:
P2(x) = 4.13 x^2 + 0.835 x + 0.1987

Passo 6

Vamos usar esse polinômio para estimar $ f(0.52) $:
f(0.52)
Calculando passo a passo:
P2(0.52) = 4.13 times (0.52)^2 + 0.835 times 0.52 + 0.1987
(0.52)^2 = 0.2704
4.13 times 0.2704 approx 1.1173
0.835 times 0.52 = 0.4342

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor real de $ f(0.52) $:
f(0.52)
Primeiro, calculamos $ e^{0.52} $:
f(0.52) = 2 times 0.52 times e^0.52
Então:
e^0.52

Passo 8

Por fim, vamos calcular o erro máximo cometido na estimativa:
Erro = |f(0.52) - P2(0.52)| = |1.748 - 1.7502| approx 0.0022

Resposta

O polinômio interpolador é $ P_2(x) = 4.13,x^2 + 0.835,x + 0.1987 $. Usando ele, estimamos que $ f(0.52) \approx 1.7502 $ com um erro máximo de aproximadamente $ 0.0022 $.

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