Encontre o polinômio interpolador e estime o erro máximo cometido ao calcular
usando um
, com
onde foram usados os pontos de interpolação:
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8099
1,1935
1,6487
2,1865
2,8193
|
0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 |
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0,8099 | 1,1935 | 1,6487 | 2,1865 | 2,8193 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o polinômio interpolador de grau 2, chamado $ P_2(x) $, para a função $ f(x) = 2x e^{x} $ usando alguns pontos dados. Além disso, precisamos estimar o valor de $ f(0.52) $ usando esse polinômio e calcular o erro máximo dessa estimativa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de interpolaçao de polinômios, que nos permite aproximar uma função por meio de um polinômio que passa exatamente por certos pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher 3 pontos de interpolação dentre os fornecidos, já que estamos buscando um polinômio de grau 2 (que tem 3 coeficientes). Vamos escolher os pontos mais próximos de $ x = 0.52 $ para melhorar a precisão. Observando a tabela, os pontos mais próximos são $ x = 0.4 $, $ x = 0.5 $ e $ x = 0.6 $.
Passo 3
Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio $ P_2(x) = a x^2 + b x + c $. Sabemos que $ P_2(x_i) = f(x_i) $ para cada um dos pontos escolhidos.
Para $ x = 0.4 $:
Para $ x = 0.5 $:
Para $ x = 0.6 $:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, simplificamos cada equação:
- $ 0.16a + 0.4b + c = 1.1935 $
- $ 0.25a + 0.5b + c = 1.6487 $
- $ 0.36a + 0.6b + c = 2.1865 $
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Agora temos um sistema com duas equações:
Subtraindo a primeira dessa nova set:
Agora, substituindo $ a = 4.13 $ na primeira equação:
Finalmente, substituímos $ a $ e $ b $ em uma das equações originais para encontrar $ c $. Usando a primeira:
Passo 5
Agora temos o polinômio interpolador:
Passo 6
Vamos usar esse polinômio para estimar $ f(0.52) $:
Calculando passo a passo:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor real de $ f(0.52) $:
Primeiro, calculamos $ e^{0.52} $:
Então:
Passo 8
Por fim, vamos calcular o erro máximo cometido na estimativa:
Resposta
O polinômio interpolador é $ P_2(x) = 4.13,x^2 + 0.835,x + 0.1987 $. Usando ele, estimamos que $ f(0.52) \approx 1.7502 $ com um erro máximo de aproximadamente $ 0.0022 $.