Use uma integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado por y=x^2 e pelos planos z=0 e y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies y=x^2, z=0 e y+z=1. O conteúdo aqui é integral tripla para volume, e vamos precisar: projetar a região no plano xy, determinar os limites em z, y e x, montar a integral, e depois calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro projetamos o sólido no plano xy. A face superior em z é dada por z=1-y e a inferior por z=0. Para existir volume, precisamos de 1-y>=0, ou seja y<=1. Também temos y>= x^2. Assim, para cada x, y varia de x^2 até 1, e como x^2<=1 então x vai de -1 a 1.

Passo 3

Agora montamos a integral tripla:
V=integralx=-1^1integraly=x^2^1integralz=0^1-ydz,dy,dx

Passo 4

Calculamos a integral em z primeiro:
integralz=0^1-ydz = (1-y)-0 = 1-y
Logo a integral reduz para
V=integral-1^1integralx^2^1(1-y),dy,dx

Passo 5

Integramos agora em y:
integraly=x^2^1(1-y),dy = l[y-tfracy^22r]y=x^2^1 = l(1-tfrac12r)-l(x^2-tfracx^42r) = tfrac12 -x^2+tfracx^42
Substituindo,
V=integral-1^1l(tfrac12 -x^2+tfracx^42r)dx

Passo 6

Agora basta integrar em x:
integral-1^1tfrac12,dx =1, integral-1^1x^2,dx=tfrac23, integral-1^1tfracx^42,dx=tfrac15
Somando,
V = 1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac15-10+315 = tfrac815

Resposta

tfrac815

Exercícios relacionados