Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
12. y^{\prime}-2 x y=e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada
y' - 2x\,y = e^{x^{2}},
usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. As informações relevantes são:
  • A equação está na forma y' + p(x)\,y = q(x).
  • Aqui p(x) = -2x e q(x)=e^{x^{2}}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Ideia do fator integrante (explicação didática): se multiplicarmos a equação por uma função \mu(x) escolhida apropriadamente, a parte esquerda fica sendo a derivada de \mu(x)\,y(x). Em geral, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y' + \mu' y.
Queremos que \mu' = \mu p(x), pois assim \mu y' + \mu' y = \mu y' + \mu p y = \mu\big(y' + p y\big). A equação \mu' = p\mu tem solução
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx},
que é justamente o fator integrante indicado. Observação importante: constantes de integração dentro do expoente só mudam \mu por um fator multiplicativo constante, que pode ser ignorado (não altera a solução geral), então basta escolher uma antiderivada qualquer de p.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
p(x)=-2x \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=e^{\int -2x\,dx}=e^{-x^{2}}.
Expliquei acima por que a constante de integração pode ser desprezada: se tivesse e^{-x^{2}+C} isso é igual a e^{C}e^{-x^{2}}, e o multiplicador constante e^{C} cancela ao encontrar a constante de integração final.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-x^{2}}. Temos
e^{-x^{2}}y' - 2x e^{-x^{2}} y = e^{-x^{2}} e^{x^{2}}.
No lado direito e^{-x^{2}} e^{x^{2}}=1, então a equação fica
e^{-x^{2}}y' - 2x e^{-x^{2}} y = 1.

Passo 5

Reconhecer a derivada do produto no lado esquerdo: pela regra do produto e pela derivada de e^{-x^{2}},
\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}} y\big) = e^{-x^{2}} y' + \big(e^{-x^{2}}\big)' y = e^{-x^{2}} y' + (-2x e^{-x^{2}})y = e^{-x^{2}}y' - 2x e^{-x^{2}} y.
Portanto a equação do Passo 4 é equivalente a
\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}} y\big) = 1.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}} y\big)\,dx = \int 1\,dx.
Isso dá
e^{-x^{2}} y = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolar y multiplicando por e^{x^{2}}:
y = e^{x^{2}}(x + C) = x e^{x^{2}} + C e^{x^{2}}.
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular y_{p}(x)=x e^{x^{2}} e da solução geral da homogênea y_{h}(x)=C e^{x^{2}}. Pode-se verificar substituindo de volta na equação original que essa expressão satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=e^{x^{2}}(x+C)=x e^{x^{2}}+C e^{x^{2}}

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