Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
12.
12.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada
usando o fator integrante
. As informações relevantes são:
- A equação está na forma
. - Aqui
e . - O objetivo é encontrar a solução geral
.
Passo 2
Ideia do fator integrante (explicação didática): se multiplicarmos a equação por uma função
escolhida apropriadamente, a parte esquerda fica sendo a derivada de
. Em geral, pela regra do produto,
Queremos que
, pois assim
. A equação
tem solução
que é justamente o fator integrante indicado. Observação importante: constantes de integração dentro do expoente só mudam
por um fator multiplicativo constante, que pode ser ignorado (não altera a solução geral), então basta escolher uma antiderivada qualquer de
.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Expliquei acima por que a constante de integração pode ser desprezada: se tivesse
isso é igual a
, e o multiplicador constante
cancela ao encontrar a constante de integração final.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Temos
No lado direito
, então a equação fica
Passo 5
Reconhecer a derivada do produto no lado esquerdo: pela regra do produto e pela derivada de
,
Portanto a equação do Passo 4 é equivalente a
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolar
multiplicando por
:
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
. Pode-se verificar substituindo de volta na equação original que essa expressão satisfaz a equação.