Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
6. y^{\prime}+3 y=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+3y=6.
As informações dadas que vamos usar são:
  • A equação tem a forma y'+p(x)y=q(x) com p(x)=3 e q(x)=6.
  • É pedido resolver a equação (obter a solução geral).

Passo 2

Apresentar a ideia do fator integrante. Para uma equação da forma y'+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A razão de usar \mu(x) é a seguinte (uma pequena “aula” sobre o porquê): se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)y'+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x).
Pelo produto derivado, tem-se
\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)y'+\mu'(x)y.
Se escolhermos \mu tal que \mu'(x)=\mu(x)p(x), então
\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)y'+\mu(x)p(x)y,
ou seja, o lado esquerdo da equação multiplicada por \mu vira exatamente \big(\mu y\big)'. Isso transforma a equação diferencial numa integral simples.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso. Aqui p(x)=3 (constante), então
\int p(x)\,dx=\int 3\,dx=3x + C_0.
Como e^{3x+C_0}=e^{C_0}e^{3x} e multiplicar \mu por constante não altera a propriedade de fator integrante, podemos escolher a constante multiplicativa igual a 1. Assim tomamos
\mu(x)=e^{3x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Isso dá
e^{3x}y' + 3e^{3x}y = 6e^{3x}.
Pelo raciocínio do Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto \big(e^{3x}y\big)', porque \big(e^{3x}\big)'=3e^{3x}. Portanto obtemos a equação equivalente
\big(e^{3x}y\big)' = 6e^{3x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Isso dá
e^{3x}y = \int 6e^{3x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Calcular a integral:
\int 6e^{3x}\,dx = 6\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = 2e^{3x}.
Logo obtemos a relação
e^{3x}y = 2e^{3x} + C.

Passo 6

Isolar y: dividir ambos os lados por e^{3x} (que nunca é zero) para obter a solução geral da equação diferencial.

Resposta

y(x)=2+C e^{-3x}

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