Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
6.
6.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
As informações dadas que vamos usar são:
- A equação tem a forma
com e . - É pedido resolver a equação (obter a solução geral).
Passo 2
Apresentar a ideia do fator integrante. Para uma equação da forma
define-se o fator integrante
A razão de usar
é a seguinte (uma pequena “aula” sobre o porquê): se multiplicarmos a equação por
obtemos
Pelo produto derivado, tem-se
Se escolhermos
tal que
, então
ou seja, o lado esquerdo da equação multiplicada por
vira exatamente
. Isso transforma a equação diferencial numa integral simples.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso. Aqui
(constante), então
Como
e multiplicar
por constante não altera a propriedade de fator integrante, podemos escolher a constante multiplicativa igual a
. Assim tomamos
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Isso dá
Pelo raciocínio do Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
. Portanto obtemos a equação equivalente
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Isso dá
onde
é a constante de integração. Calcular a integral:
Logo obtemos a relação
Passo 6
Isolar
: dividir ambos os lados por
(que nunca é zero) para obter a solução geral da equação diferencial.