Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
5. y^{\prime}+y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+y=e^{-x},
e pede para resolvê‑la usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Informações explícitas extraídas do enunciado:
  • A equação está na forma y'+p(x)y=q(x).
  • Aqui p(x)=1 e q(x)=e^{-x}.
  • Deseja‑se a solução geral y(x) (não foi dada condição inicial).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para uma equação da forma
y'+p(x)y=q(x),
o fator integrante é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Por que isso ajuda? Se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu p y = \mu q.
Pelo produto derivado, se \mu' for igual a \mu p, então o lado esquerdo é a derivada do produto \mu y:
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y = \mu y' + \mu p y.
Como \mu' = p\mu acontece exatamente quando \mu=e^{\int p}. Assim a equação se transforma numa forma fácil de integrar:
(\mu y)' = \mu q \quad\Rightarrow\quad \mu y = \int \mu q\,dx + C.
Essa é a ideia geral — agora aplicamos ao caso concreto.

Passo 3

Calcular \mu(x) com p(x)=1:
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Expliquei: computei a integral de p(x) que é \int 1\,dx = x, e então exponencializei para obter \mu(x)=e^{x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\cdot e^{-x}.
Simplificando o lado direito:
e^{x}y' + e^{x}y = 1.
Agora aplicar o raciocínio do produto: como e^{x} satisfaz (e^{x})' = e^{x} = p(x)e^{x}, o lado esquerdo é a derivada de e^{x}y:
\bigl(e^{x}y\bigr)' = 1.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{x}y\bigr)'\,dx = \int 1\,dx
portanto
e^{x}y = x + C,
onde C é a constante de integração (qualquer número real).

Passo 6

Isolar y:
y = e^{-x}(x + C) = x e^{-x} + C e^{-x}.
Interpretação didática: a solução geral é a soma de uma solução particular y_p(x)=x e^{-x} e da solução geral da homogênea y_h(x)=C e^{-x}. Isso é típico: a constante C acompanha a solução da homogênea y'+y=0.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivar y e substituir na equação para conferir.
Calcule y' = derivada de x e^{-x} + C e^{-x}.
Usando regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x} - x e^{-x},
e
\frac{d}{dx}\bigl(C e^{-x}\bigr) = C(-e^{-x}) = -C e^{-x}.
Somando:
y' = e^{-x} - x e^{-x} - C e^{-x}.
Agora y'+y é
(e^{-x} - x e^{-x} - C e^{-x}) + (x e^{-x} + C e^{-x}) = e^{-x},
que é exatamente o termo do lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.

Resposta

y=(x+C)e^{-x}

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