Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
5.
5.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede para resolvê‑la usando o fator integrante
.
Informações explícitas extraídas do enunciado:
Informações explícitas extraídas do enunciado:
- A equação está na forma
. - Aqui
e . - Deseja‑se a solução geral
(não foi dada condição inicial).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para uma equação da forma
o fator integrante é definido por
Por que isso ajuda? Se multiplicarmos a equação por
obtemos
Pelo produto derivado, se
for igual a
, então o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Como
acontece exatamente quando
. Assim a equação se transforma numa forma fácil de integrar:
Essa é a ideia geral — agora aplicamos ao caso concreto.
Passo 3
Calcular
com
:
Expliquei: computei a integral de
que é
, e então exponencializei para obter
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
:
Simplificando o lado direito:
Agora aplicar o raciocínio do produto: como
satisfaz
, o lado esquerdo é a derivada de
:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
portanto
onde
é a constante de integração (qualquer número real).
Passo 6
Isolar
:
Interpretação didática: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
. Isso é típico: a constante
acompanha a solução da homogênea
.
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivar
e substituir na equação para conferir.
Calcule derivada de
.
Usando regra do produto:
Calcule
Usando regra do produto:
e
Somando:
Agora
é
que é exatamente o termo do lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.