Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
8. x y^{\prime}+y=2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x y^{\prime}+y=2x,
usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação fornecida é \;x y^{\prime}+y=2x\;.
  • É pedido encontrar a solução geral y(x) usando o método do fator integrante.
  • Observar que a equação envolve divisão por x, então é preciso lembrar que a solução será válida em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão \;y'+p(x)\,y=q(x)\; (essa forma é necessária para aplicar o fator integrante). Divido ambos os lados por x (assumindo x\neq0):
y' + \frac{1}{x}\,y = 2.
Agora identifico as funções:
p(x)=\frac{1}{x},\qquad q(x)=2.

Passo 3

Explicar o porquê do fator integrante. A ideia é encontrar \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação padrão por \mu(x), o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples \big(\mu(x)y\big)'. Mostro a identidade usada:
Se \mu(x) satisfaz \mu'(x)=p(x)\mu(x), então, usando a regra do produto,
\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)y'+\mu'(x)y=\mu(x)\big(y'+p(x)y\big).
Portanto, multiplicando a equação padrão por \mu(x) obtemos
\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)q(x),
e daí basta integrar ambos os lados para achar \mu(x)y. A escolha natural de \mu(x) que satisfaz \mu'(x)=p(x)\mu(x) é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx},
por isso esse é o fator integrante.

Passo 4

Calcular o fator integrante para p(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}\,dx}=e^{\ln|x|}=|x|.
Comentário prático: para trabalhar em um intervalo onde x>0 pode-se tomar \mu(x)=x; para um intervalo onde x<0 pode-se tomar \mu(x)=-x. Em ambas as escolhas a constante de integração acaba absorvida depois, então é comum escolher \mu(x)=x e lembrar que a solução vale para x\neq0. Vou escolher \mu(x)=x.

Passo 5

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=x. Já que a equação original é precisamente x y'+y=2x, ao multiplicar pela x na forma padrão voltamos à mesma expressão — isto confirma que o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(xy\big)' = x y' + y.
Portanto, a equação multiplicada fica
\big(xy\big)' = x\cdot 2 = 2x.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \big(xy\big)'\,dx = \int 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x y = x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolo y para obter a solução geral:
y(x)=\frac{x^{2}+C}{x}=x+\frac{C}{x},\qquad x\neq0.
Explicação do resultado: a solução geral tem uma parte particular y_p(x)=x (corresponde a escolher C=0) e uma parte homogênea y_h(x)=C/x que vem da solução da equação homogênea associada. A constante C é arbitrária e determinada por uma condição inicial, se houver.

Resposta

y(x)=x+\frac{C}{x},\qquad x\neq0

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