Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
8.
8.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
usando o fator integrante
.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A equação fornecida é
. - É pedido encontrar a solução geral
usando o método do fator integrante. - Observar que a equação envolve divisão por
, então é preciso lembrar que a solução será válida em intervalos onde .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
(essa forma é necessária para aplicar o fator integrante). Divido ambos os lados por
(assumindo
):
Agora identifico as funções:
Passo 3
Explicar o porquê do fator integrante. A ideia é encontrar
tal que, ao multiplicar a equação padrão por
, o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples
. Mostro a identidade usada:
Se
satisfaz
, então, usando a regra do produto,
Portanto, multiplicando a equação padrão por
obtemos
e daí basta integrar ambos os lados para achar
. A escolha natural de
que satisfaz
é
por isso esse é o fator integrante.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
Comentário prático: para trabalhar em um intervalo onde
pode-se tomar
; para um intervalo onde
pode-se tomar
. Em ambas as escolhas a constante de integração acaba absorvida depois, então é comum escolher
e lembrar que a solução vale para
. Vou escolher
.
Passo 5
Multiplico a equação padrão por
. Já que a equação original é precisamente
, ao multiplicar pela
na forma padrão voltamos à mesma expressão — isto confirma que o lado esquerdo é a derivada do produto:
Portanto, a equação multiplicada fica
Agora integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolo
para obter a solução geral:
Explicação do resultado: a solução geral tem uma parte particular
(corresponde a escolher
) e uma parte homogênea
que vem da solução da equação homogênea associada. A constante
é arbitrária e determinada por uma condição inicial, se houver.